【LeetCode 84】柱状图中最大的矩形：单调栈的教科书级应用在算法面试中， “柱状图中最大的矩形” （LeetCo

在算法面试中， “柱状图中最大的矩形” （LeetCode 84）是一道极具代表性的经典题目。很多同学在初次遇到这道题时，往往会被各种边界条件绕晕。今天，我们将用最通俗的语言，带你彻底吃透这道题，掌握单调栈这一核心利器。

一、题目解析：我们在找什么？

给定一个非负整数数组 heights，代表柱状图中各个柱子的高度。每个柱子的宽度为 1，我们需要找出其中可以勾勒出来的矩形的最大面积。

核心破题点：
不要一上来就想着“如何框选一个矩形”，而是要转换思维：以每一个柱子为基准，向左右两侧扩展，直到遇到比它矮的柱子。
也就是说，对于第 i 个柱子，我们需要找到：

左边第一个高度小于它的柱子索引 left。
右边第一个高度小于它的柱子索引 right。

那么，以第 i 个柱子为高的最大矩形面积就是：heights[i] * (right - left - 1)。遍历所有柱子，取最大值即可。

二、从暴力到最优解的演进

1. 暴力枚举法（O(n²)）

最直观的想法是：遍历每个柱子，然后分别向左右两边线性扫描，寻找第一个比它矮的柱子。

缺点：时间复杂度高达 O(n²)，当数据量达到 10^5 时，必然超时。

2. 单调栈优化（O(n)）

暴力法的核心瓶颈在于“向左右寻找第一个比它矮的柱子”这个过程太慢了。有没有办法在一次遍历中，就把所有柱子的左右边界都确定下来？

单调栈就是为此而生的。我们维护一个单调递增栈（栈底到栈顶的高度依次递增）。

核心逻辑：
当我们遍历到一个新柱子 i 时，如果它的高度小于栈顶柱子的高度，这就意味着：

对于栈顶柱子来说，当前柱子 i 就是它右边第一个比它矮的柱子（右边界确定） 。
而栈顶下面的那个元素，就是它左边第一个比它矮的柱子（左边界确定） 。

此时，我们就可以弹出栈顶，并计算它的最大矩形面积！

三、代码实现与深度解析

为了处理边界情况（比如数组是单调递增的，导致栈内元素无法全部弹出计算），我们通常会在数组首尾各加一个高度为 0 的哨兵。

/**
 * @param {number[]} heights
 * @return {number}
 */
var largestRectangleArea = function(heights) {
    // 1. 哨兵技巧：首尾加0，确保所有元素都能入栈并出栈计算
    heights = [0, ...heights, 0];
    const stack = [];
    let maxArea = 0;

    for (let i = 0; i < heights.length; i++) {
        // 2. 核心逻辑：当前高度 < 栈顶高度，说明找到了栈顶元素的右边界
        while (stack.length && heights[i] < heights[stack[stack.length - 1]]) {
            // 弹出栈顶，计算以该柱子为高的矩形面积
            const heightIndex = stack.pop();
            const height = heights[heightIndex];
            
            // 3. 确定宽度：右边界是当前i，左边界是新的栈顶
            // 如果栈空（理论上不会，因为有首哨兵0），左边界视为-1
            const leftIndex = stack.length ? stack[stack.length - 1] : -1;
            const width = i - leftIndex - 1;
            
            maxArea = Math.max(maxArea, height * width);
        }
        // 当前索引入栈，维持单调递增
        stack.push(i);
    }

    return maxArea;
};

代码深度解析（为什么这么写？）

为什么要加哨兵 [0, ...heights, 0]？
- 首部的 0：保证栈永远不为空。当弹出最后一个有效元素时，新的栈顶就是这个 0，避免了 leftIndex 的越界判断。
- 尾部的 0：这是最关键的。如果原数组是 [1, 2, 3]，遍历结束时栈里还剩下 [1, 2, 3]，它们都没有触发“遇到更小元素”的条件。尾部的 0 会强制触发 while 循环，把栈里剩下的元素全部弹出并计算面积。
栈里存的是索引还是值？
- 存的是索引 i。因为我们需要通过索引去获取高度 heights[i]，同时还需要用索引来计算宽度 i - leftIndex - 1。
时间复杂度真的是 O(n) 吗？
- 是的。虽然代码里有一个 while 嵌套在 for 循环中，但每个元素最多只会入栈一次、出栈一次。总的操作次数是 2n，所以均摊时间复杂度是 O(n)。

四、面试加分项

如果在面试中遇到这道题，除了写出上述代码，你还可以主动补充以下两点，展示你的工程思维：

空间换时间：单调栈本质上是用 O(n) 的空间复杂度，换取了 O(n) 的时间复杂度，这是算法设计中非常经典的权衡。
实际应用场景：这种“寻找左右两侧第一个更小/更大元素”的模型，在实际工程中常用于图像处理中的最大矩形检测、仓库货物摆放优化以及数据可视化中的柱状图分析等场景

【LeetCode 84】柱状图中最大的矩形：单调栈的教科书级应用

一、 题目解析：我们在找什么？

二、 从暴力到最优解的演进