洛谷刷题记录（2026-8-20）P1028 [NOIP 2001 普及组] 数的计算

P1028 [NOIP 2001 普及组] 数的计算

题目描述

给出正整数 $n$，要求按如下方式构造数列：

1. 只有一个数 $n$ 的数列是一个合法的数列。
2. 在一个合法的数列的末尾加入一个正整数，但是这个正整数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。

请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 $a, b$ 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 $i \leq |a|$，使得 $a_i \neq b_i$。

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 $n$。

输出格式

输出一行一个整数，表示合法的数列个数。

输入输出样例 #1

输入 #1

6

输出 #1

6

说明/提示

样例 1 解释

满足条件的数列为：

• $6$
• $6, 1$
• $6, 2$
• $6, 3$
• $6, 2, 1$
• $6, 3, 1$

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1 \leq n \leq 10^3$。

解题：

学到真东西了：为了应对超时的问题：我们可以采用空间换时间的方法(记忆化递归)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//记忆化递归
#define N 10005
int mem[N] = {0};
int f(int n)
{
    if(mem[n]!=0) return mem[n];//关键步骤
    if(n==1)
    {
        return mem[n] = 1;

    }
    if(n==2)
    {
        return mem[n] = 2;
    }
    if(n==3)
    {
        return mem[n] = 2;
    }

    int result = 1;
    for(int i=1;i<=n/2;i++)
    {
        result+=f(i);
    }
    return mem[n] = result;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);

    int n;
    cin >> n;
    cout << f(n);

    return 0;
}