LeetCode 51. N 皇后LeetCode 51 N 皇后题解，采用回溯法在决策树上深度优先遍历，通过列、主对角

LeetCode 51. N 皇后

摘要

LeetCode 51 N 皇后题解，采用回溯法在决策树上深度优先遍历，通过列、主对角线、副对角线三个剪枝数组排除冲突位置，枚举所有合法放置方案，时间复杂度 O(n!)，空间复杂度 O(n × n!)（结果存储）。

1. 题目描述

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行、同一列或同一斜线上的棋子。

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

text

输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

text

输入：n = 1
输出：[["Q"]]

提示：

1 <= n <= 9

2. 易错点

对角线索引计算：主对角线 row - col 可能为负，需要加上偏移 n - 1 使其非负；副对角线 row + col 范围在 [0, 2n-2]。数组长度均为 2n-1。
字符串修改：JavaScript 字符串不可变，需通过 slice 拼接替换字符，不能直接赋值。
回溯状态恢复：递归返回后，需将棋盘恢复为 '.'，同时将三个 used 数组对应的位置重置为 false。
剪枝顺序：先检查列和对角线是否被占用，再放置皇后，避免无效递归。
n=1 特殊情况：只有一个格子，直接放置皇后，结果为一个 ["Q"]。

3. 思路

决策树模型

N 皇后问题的决策树每层对应棋盘的一行（从第 0 行到第 n-1 行）。每个内部节点代表前 row 行已经放置了皇后，且满足约束条件。节点的分支表示在当前行 row 中尝试将皇后放置在某一列 col（0 到 n-1）。如果该位置与已放置的皇后不冲突，则进入下一层（下一行）。叶子节点（row === n）表示所有皇后都已成功放置，记录当前棋盘布局。

与全排列问题类似，每层都要尝试所有列，但不能重复使用同一列，且不能在同一对角线上。

剪枝条件详解

列冲突：usedCol[col] 标记第 col 列是否已有皇后。
主对角线冲突（左上→右下） ：同一主对角线上的格子满足 row - col 为常数。为避免负数索引，使用 d1 = row - col + n - 1，范围 [0, 2n-2]。
副对角线冲突（右上→左下） ：同一副对角线上的格子满足 row + col 为常数。使用 d2 = row + col，范围 [0, 2n-2]。

在尝试放置皇后时，若 usedCol[col]、usedDiag1[d1] 或 usedDiag2[d2] 任一为 true，则跳过该位置。

状态回溯

选择：标记列和对角线为已用，将棋盘当前位置改为 'Q'。
递归：进入下一行。
撤销：恢复棋盘为 '.'，重置列和对角线标记。

棋盘表示

初始棋盘为 n 个 '.' 组成的字符串数组。放置皇后时，通过 board[row] = board[row].slice(0, col) + 'Q' + board[row].slice(col + 1) 替换字符。回溯时用 '.' 替换回来。

复杂度

时间复杂度：O(n!)，每个位置尝试 n 种选择，总排列数接近 n!（受剪枝影响）。
空间复杂度：O(n × n!)，存储所有合法棋盘。

4. 编写代码

javascript 运行

javascript

var solveNQueens = function(n) {
    const ans = [];
    const board = Array.from({ length: n }, () => '.'.repeat(n));
    const usedCol = new Array(n).fill(false);
    const usedDiag1 = new Array(2 * n - 1).fill(false);
    const usedDiag2 = new Array(2 * n - 1).fill(false);

    const dfs = (row) => {
        if (row === n) {
            ans.push([...board]);
            return;
        }

        for (let col = 0; col < n; col++) {
            const d1 = row - col + n - 1;
            const d2 = row + col;

            if (usedCol[col] || usedDiag1[d1] || usedDiag2[d2]) continue;

            usedCol[col] = true;
            usedDiag1[d1] = true;
            usedDiag2[d2] = true;
            board[row] = board[row].slice(0, col) + 'Q' + board[row].slice(col + 1);

            dfs(row + 1);

            board[row] = board[row].slice(0, col) + '.' + board[row].slice(col + 1);
            usedCol[col] = false;
            usedDiag1[d1] = false;
            usedDiag2[d2] = false;
        }
    };

    dfs(0);
    return ans;
};

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