1.2 逻辑函数的化简方法|标准与或表达式

一、标准与或表达式

标准与或式（也称最小项表达式）就是逻辑函数的最小项之和的形式。

最小项（Minterm）的概念：在 n 个变量的逻辑函数中，最小项是包含所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。

[例 1]

上式给出的就是逻辑函数 $Y$ 的标准与或表达式。之所以称之为标准与或表达式，是因为在表达式中，每一个乘积项都具有标准形式。而且，人们常把这种标准形式的乘积项叫做最小项。

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1. 最小项的概念

包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。

变量个数	最小项总数
2 变量	4 个
3 变量	8 个
4 变量	16 个
n 变量	2ⁿ 个

2变量的最小项（共 4 个）：

3变量的最小项（共 8 个）：

4变量的最小项（共 16 个）：

n变量的最小项（共 2ⁿ 个）：每个变量以原变量或反变量出现一次的所有组合。

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2. 最小项的性质

以变量 A、B、C 的全部最小项为例，其真值表如下：

序号	A	B	C	m₀	m₁	m₂	m₃	m₄	m₅	m₆	m₇
0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0
3	0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0
4	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0
6	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0
7	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1

由真值表可归纳出最小项的三个重要性质：

1. 任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1
   • 对应规律：取值 1 ↔ 原变量；取值 0 ↔ 反变量
2. 任意两个最小项的乘积为 0
   • 例如：$\bar{A}\bar{B}C \cdot A\bar{B}C = 0$（同一变量不可能既取原变量又取反变量）
3. 全体最小项之和为 1
   • $\sum_{i=0}^{2^n-1} m_i = 1$

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3. 最小项是组成逻辑函数的基本单元

任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。

[例 2] 写出下列函数的标准与或式： $Y = AB + \bar{A}C$

解：

$Y = AB(\bar{C} + C) + \bar{A}(\bar{B} + B)C$

$= AB\bar{C} + ABC + \bar{A}\bar{B}C + \bar{A}BC$

$= m_1 + m_3 + m_6 + m_7$

结论：标准与或表达式是唯一的，一个函数只有一个最小项之和的表达式。

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由真值表直接写出标准与或式

函数的标准与或式也可以由其真值表直接写出。例如，已知 $Y = A + BC$ 的真值表：

A	B	C	Y
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

将 Y = 1 对应的最小项相加，即得：

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4. 最小项的编号

把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数就是该最小项的编号，用 $m_i$ 表示。

对应规律：原变量 ↔ 1，反变量 ↔ 0

A B C	二进制	十进制	最小项编号
0 0 0	000	0	m₀
0 0 1	001	1	m₁
0 1 0	010	2	m₂
0 1 1	011	3	m₃
1 0 0	100	4	m₄
1 0 1	101	5	m₅
1 1 0	110	6	m₆
1 1 1	111	7	m₇

[例] 写出 $Y = AB + \bar{A}C$ 的标准与或式（用编号表示）

$Y = m_1 + m_3 + m_6 + m_7$

在书写逻辑函数的标准与或表达式时，常常约定用注有下标的小写 m 表示有关的最小项，甚至只用编号表示，如 $Y = \Sigma m(1,3,6,7)$。

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5. 由真值表写出标准与或式——练习

给定真值表：

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

写出逻辑函数 Y 的标准与或式： $Y = \bar{A}B + A\bar{B} + AB$

最简与或式为：$Y = A + B$