P1532 卡布列克圆舞曲【洛谷算法习题】

P1532 卡布列克圆舞曲

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P1532 卡布列克圆舞曲

题目描述

卡布列克是一位数学家，他在研究数字时发现：任意一个不是用完全相同数字组成的四位数，如果对它们的每位数字重新排序，组成一个较大的数和一个较小的数，然后用较大数减去较小数，差不够四位数时补零，类推下去，最后将变成一个固定的数：$6174$，这就是卡布列克常数，例如：

$4321-1234=3087$。

$8730-378=8352$。

$8532-2358=6174$。

$7641-1467=6174$。

如果 $K$ 位数也照此办理，它们不是变成一个数，而是在几个数字之间形成循环，称作卡布列克圆舞曲。例如对于五位数 $54321$：

$54321-12345=41976$。

$97641-14679=82962$。

$98622-22689=75933$。

$97533-33579=63954$。

$96543-34569=61974$。

$97641-14679=82962$。

我们把 $82962,75933,63954,61974$ 称作循环节，即卡布列克圆舞曲。

输入格式

若干行，每行为一个待求“卡布列克圆舞曲”的起始整数 $n$。（$n<2^{31}$）

输出格式

每行为对应整数的循环节，数据之间用空格隔开。

输入输出样例 #1

输入 #1

4321
54321

输出 #1

6174
82962 75933 63954 61974

解题思路

本题是数字黑洞（卡布列克常数）的模拟与循环检测问题，通过对整数反复进行“重排最大数减最小数”的操作，记录过程中出现的所有数值，一旦遇到重复即定位循环节并输出。

1. 问题等价转化

• 卡布列克操作：对于整数 $n$，将其各位数字取出，分别按升序和降序排列，组成最小数 $n_1$ 和最大数 $n_2$，计算 $n' = n_2 - n_1$。若结果位数不足原数位数，在运算过程中自然由数字前导零的忽略而实现“补零”效果（例如 $3087$ 排序后最小数视为 $378$，最大数 $8730$）。
• 循环节定义：从某个起点开始，反复执行上述操作，最终会进入一个循环。循环节即从第一次出现的某个数开始，到再次出现该数之前的所有数构成的序列。
• 目标：对于每个输入整数 $n$，输出其进入的循环节（数据之间用空格隔开）。

2. 算法实现

1. 输入与初始化：循环读取整数 $n$（直至 EOF）。对于每个 $n$：
   • 清空记录数组 a，下标 ind 置 0。
   • 将初始值 $n$ 存入 a[++ind]。
2. 迭代操作：
   • 设置标志 flag = true，进入循环。
   • 提取 $n$ 的各位数字存入数组 b，记录位数 cnt。
   • 对 b[1..cnt] 排序。
   • 构造最小数 n1：从 b[1] 到 b[cnt] 依次拼成十进制数。
   • 构造最大数 n2：从 b[cnt] 到 b[1] 依次拼成十进制数。
   • 计算新数 n = n2 - n1。
   • 遍历已记录的数组 a，检查 $n$ 是否已出现过。若已出现（a[i] == n），则循环节为 a[i] 到 a[ind] 的所有元素，输出后设置 flag = false 结束循环。
   • 否则将 $n$ 追加到 a[++ind] 中继续迭代。
3. 输出格式：每找到一组循环节，按顺序输出数字，空格分隔，最后换行。

3. 复杂度分析

• 时间复杂度：每次操作需要 $O(d \log d)$ 排序数字（$d$ 为位数，最多 $10$ 位），迭代步数受限于整数范围和循环长度，远小于 $10^5$ 级别，每轮极快。
• 空间复杂度：$O(L)$ 存储过程值，$L$ 为循环前序列长度，规模很小。

总结

通过反复执行“重排相减”操作，并将每次结果记录下来，借助线性查找检测重复，精确提取出卡布列克圆舞曲的循环节。由于操作对象不超过 $2^{31}$，循环长度有限，模拟完全可行。

代码简要说明

1. 全局变量与数组

   • a[100000]：记录操作过程中依次产生的数。
   • ind：当前记录数量指针。

2. 主循环

   • while(cin >> n) 处理多组数据。
   • 初始化 ind=0，将 $n$ 存入 a[++ind]。
   • flag=true 控制迭代，直到发现循环。
   • 提取数字位到 b，排序后用 n1（升序）、n2（降序）做差。
   • 遍历已存数组 a，若 a[i] == n 则输出从 i 到 ind 的所有数，置 flag=false。
   • 否则将新数继续记录。

3. 输出：每行结束后输出换行。

代码内容

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define endl '\n'
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<vector<ll>> vvt;
typedef pair<ll,ll> pll;
const ll N=1e3+10;
const ll INF=1e18;
const ll M=1e6+10;
const ll mod=1e9+7;

ll ind;
ll a[100000], n;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    while(cin >> n)
    {
        ind = 0;
        a[++ind] = n;
        bool flag = true;
        while(flag)
        {
            ll b[20] = {0}, n1 = 0, n2 = 0;
            ll cnt = 0;
            while(n)
            {
                b[++cnt] = n % 10;
                n /= 10;
            }
            sort(b + 1, b + 1 + cnt);
            for(ll i = 1; i <= cnt; i++) n1 = n1 * 10 + b[i];
            for(ll i = cnt; i >= 1; i--) n2 = n2 * 10 + b[i];
            n = n2 - n1;
            for(ll i = 1; flag && i <= ind; i++)
                if(a[i] == n)
                {
                    flag = false;
                    for(ll j = i; j <= ind; j++) cout << a[j] << " ";
                }
            a[++ind] = n;
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}