一阶低通滤波器系数的两种计算方法

念风
24 阅读1分钟

在单片机控制程序中，经常能看到下面这种一阶低通滤波器：

y += alpha * (x - y);

它也可以写成离散差分方程：

y[k]=(1−α)y[k−1]+αx[k]y[k]=(1-\alpha)y[k-1]+\alpha x[k]

其中：

  • x[k]x[k] 是当前采样值；
  • y[k]y[k] 是当前滤波输出；
  • α\alpha 是滤波系数，通常满足 0<α≤10<\alpha\leq1。

α\alpha 越小，滤波越强，但响应越慢；α=1\alpha=1 时输出完全等于输入，相当于没有滤波。

工程中常见两种根据截止频率计算 α\alpha 的方法：

  1. 指数映射法，即精确匹配连续系统的时间常数；
  2. 后向欧拉法，即将连续微分方程做数值离散化。

两种方法都来自同一个连续一阶低通模型，只是离散化方式不同。

1. 连续一阶低通模型

模拟RC低通滤波器满足：

τdydt+y=x\tau\frac{dy}{dt}+y=x

整理为：

dydt=x−yτ\frac{dy}{dt}=\frac{x-y}{\tau}

其中 τ\tau 是滤波器时间常数。时间常数与截止频率的关系为：

τ=12πfc\tau=\frac{1}{2\pi f_c}

这里 fcf_c 的单位是Hz。公式中出现 2π2\pi，是因为微分方程使用角频率：

ωc=2πfc\omega_c=2\pi f_c

采样周期和采样频率的关系为：

Ts=1fsT_s=\frac{1}{f_s}

2. 方法一：指数映射法

假设一个采样周期内输入 xx 保持不变，定义输入与输出之间的误差：

e=x−ye=x-y

一阶系统的误差会按照指数规律衰减：

e(t+Ts)=e(t)e−Ts/τe(t+T_s)=e(t)e^{-T_s/\tau}

因此，一个采样周期后的输出为：

y[k]=x[k]+(y[k−1]−x[k])e−Ts/τy[k]=x[k]+\left(y[k-1]-x[k]\right)e^{-T_s/\tau}

整理得到：

y[k]=y[k−1]+(1−e−Ts/τ)(x[k]−y[k−1])y[k]=y[k-1]+\left(1-e^{-T_s/\tau}\right) \left(x[k]-y[k-1]\right)

与标准代码形式对比：

y += alpha * (x - y);

可以得到：

α=1−e−Ts/τ\boxed{\alpha=1-e^{-T_s/\tau}}

代入 Ts=1/fsT_s=1/f_s 和 τ=1/(2πfc)\tau=1/(2\pi f_c)：

α=1−e−2πfc/fs\boxed{\alpha=1-e^{-2\pi f_c/f_s}}

从极点角度理解

连续一阶低通的极点是：

s=−2πfcs=-2\pi f_c

经过采样后，连续极点映射到离散域：

z=esTs=e−2πfc/fsz=e^{sT_s}=e^{-2\pi f_c/f_s}

而差分方程的离散极点是 z=1−αz=1-\alpha，所以：

1−α=e−2πfc/fs1-\alpha=e^{-2\pi f_c/f_s}

最终仍然得到相同结果。

这种方法精确保持了连续系统的极点和时间常数，因此也常被称为精确极点映射或零阶保持离散化。

3. 方法二：后向欧拉法

从同一个连续微分方程出发：

dydt=x−yτ\frac{dy}{dt}=\frac{x-y}{\tau}

使用后向差分近似导数：

y[k]−y[k−1]Ts=x[k]−y[k]τ\frac{y[k]-y[k-1]}{T_s}=\frac{x[k]-y[k]}{\tau}

注意右侧使用的是当前输出 y[k]y[k]，这正是“后向欧拉”名称的来源。

整理方程：

y[k]=τTs+τy[k−1]+TsTs+τx[k]y[k]=\frac{\tau}{T_s+\tau}y[k-1] +\frac{T_s}{T_s+\tau}x[k]

写成标准滤波形式：

y[k]=y[k−1]+α(x[k]−y[k−1])y[k]=y[k-1]+\alpha\left(x[k]-y[k-1]\right)

得到：

α=TsTs+τ\boxed{\alpha=\frac{T_s}{T_s+\tau}}

代入采样频率和截止频率：

α=2πfcfs+2πfc\boxed{ \alpha=\frac{2\pi f_c}{f_s+2\pi f_c} }

也可以定义：

r=2πfcfsr=\frac{2\pi f_c}{f_s}

于是：

α=r1+r\alpha=\frac{r}{1+r}

后向欧拉法属于近似离散化，但它有一个重要优点：对于正的时间常数，计算得到的 α\alpha 始终处于0到1之间，数值稳定性很好。

4. 两种方法为什么很接近

令：

r=2πfcfsr=\frac{2\pi f_c}{f_s}

指数映射法为：

αexp=1−e−r\alpha_{exp}=1-e^{-r}

后向欧拉法为：

αBE=r1+r\alpha_{BE}=\frac{r}{1+r}

当截止频率远低于采样频率，即 r≪1r\ll1 时，可以做级数展开：

1−e−r=r−r22+⋯1-e^{-r}=r-\frac{r^2}{2}+\cdots
r1+r=r−r2+⋯\frac{r}{1+r}=r-r^2+\cdots

两者的一阶项完全相同：

α≈2πfcfs\boxed{\alpha\approx\frac{2\pi f_c}{f_s}}

所以，当 fcf_c 远低于 fsf_s 时，两种方法的实际差别很小。截止频率越接近采样频率，两种离散化方法的差别才会逐渐明显。

5. 数值计算示例

假设：

fs=20000 Hz,fc=100 Hzf_s=20000\text{ Hz},\qquad f_c=100\text{ Hz}

指数映射法

αexp=1−e−2π×100/20000≈0.03093\alpha_{exp} =1-e^{-2\pi\times100/20000} \approx0.03093

后向欧拉法

αBE=2π×10020000+2π×100≈0.03046\alpha_{BE} =\frac{2\pi\times100}{20000+2\pi\times100} \approx0.03046

两者相差约1.5%，在大多数电机控制滤波场景中几乎没有明显区别。

6. 20kHz采样时的参数对比

截止频率指数映射法后向欧拉法相对差异
20Hz0.0062630.0062440.31%
23.5Hz0.0073560.0073290.37%
30Hz0.0093810.0093370.47%
50Hz0.0155850.0154650.77%
100Hz0.0309280.0304591.51%
200Hz0.0608990.0591172.92%
500Hz0.1453640.1357556.61%
1kHz0.2695970.23905711.33%

可以看到，在20kHz采样、几十到几百赫兹截止频率的情况下，两种方法结果非常接近。

7. C语言实现

#include <math.h>

#define PI_F 3.14159265358979323846f

/* 方法一：指数映射，精确匹配连续时间常数 */
static float lpf_alpha_exponential(float cutoff_hz, float sample_hz)
{
    return 1.0f - expf(-2.0f * PI_F * cutoff_hz / sample_hz);
}

/* 方法二：后向欧拉，计算简单且稳定 */
static float lpf_alpha_backward_euler(float cutoff_hz, float sample_hz)
{
    float r = 2.0f * PI_F * cutoff_hz / sample_hz;
    return r / (1.0f + r);
}

/* 一阶低通滤波器 */
static float lpf_update(float input, float previous_output, float alpha)
{
    return previous_output + alpha * (input - previous_output);
}

alpha 应在初始化阶段计算一次，不建议在高频中断中反复调用 expf()。

如果采样频率和截止频率都是固定常量，也可以提前计算好系数：

#define CURRENT_LPF_ALPHA 0.03093f   /* fs=20kHz, fc=100Hz, 指数映射 */

8. 应该选择哪一种

优先选择指数映射法的情况

  • 希望准确保持连续系统的时间常数；
  • 希望连续极点和离散极点严格对应；
  • 参数在初始化阶段计算，计算量不是问题。

公式为：

α=1−e−2πfc/fs\boxed{\alpha=1-e^{-2\pi f_c/f_s}}

可以选择后向欧拉法的情况

  • 希望计算形式简单；
  • 需要始终保证 0<α<10<\alpha<1；
  • 截止频率远低于采样频率；
  • 希望沿用常见的数字RC滤波写法。

公式为：

α=2πfcfs+2πfc\boxed{\alpha=\frac{2\pi f_c}{f_s+2\pi f_c}}

9. 一个容易忽略的严谨性问题

上面两种公式的 fcf_c 都来自连续RC模型。指数映射法精确保持连续系统的时间常数，后向欧拉法近似保持连续系统的动态特性。

当 fc≪fsf_c\ll f_s 时，离散滤波器实际的-3dB频率与目标值几乎一致；当截止频率已经接近采样频率时，这种近似会出现明显偏差。此时如果必须精确控制数字域的-3dB频率，应按照离散频率响应直接求系数，或者使用双线性变换设计IIR滤波器，而不应继续使用低频近似。

总结

两种系数计算方法并不矛盾：

α=1−e−2πfc/fs\alpha=1-e^{-2\pi f_c/f_s}

来自连续一阶系统的精确指数响应；

α=2πfcfs+2πfc\alpha=\frac{2\pi f_c}{f_s+2\pi f_c}

来自后向欧拉离散化。

当截止频率远低于采样频率时，两者都近似为：

α≈2πfcfs\alpha\approx\frac{2\pi f_c}{f_s}

在常见的电机控制场景中，只要明确采样频率、截止频率和使用的离散化方法，两种公式都可以可靠使用。

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