一节滤波分析

一阶滤波（通常指一阶低通滤波）是信号处理中最基础且实用的算法之一。它的核心思想是：本次输出 = $\alpha \times$ 本次采样值 + $(1 - \alpha) \times$ 上次输出值。

这种滤波器能有效滤除高频噪声，保留信号的低频趋势。

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1. 数学模型

一阶低通滤波的差分方程为：

$y(n) = \alpha \cdot x(n) + (1 - \alpha) \cdot y(n-1)$

其中：

• $x(n)$：当前输入采样值
• $y(n)$：当前滤波输出值
• $y(n-1)$：上次滤波输出值
• $\alpha$：滤波系数，范围为 $[0, 1]$。$\alpha$ 越小，平滑效果越强，但相位滞后（延迟）也越大。

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如何评估$\alpha$ 对于数据滞后影响我们可以通过以下公式来评估（时域）： 在离散系统中，如果采样周期为 $T$（即 $1/f_s$），滤波系数为 $\alpha$：

$\tau \approx \frac{T \cdot (1 - \alpha)}{\alpha}$

• 直观理解：如果你的 $\alpha$ 越小，$\tau$ 就越大，意味着滤波器“记性”越好，反应越慢，滞后越明显。

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2. MATLAB 实现

其实所有的滤波算法可以提前通过matlab实现仿真，这样更能直观体现算法和系数的优缺点。

Matlab

fs = 1000;              % 采样频率
t = 0:1/fs:1;           % 时间轴
alpha = 0.1;            % 滤波系数

% 生成信号：5Hz正弦波 + 高频噪声
raw_signal = sin(2*pi*5*t) + 0.5*randn(size(t));

% 滤波处理
filtered_signal = zeros(size(raw_signal));
filtered_signal(1) = raw_signal(1); % 初始化

for n = 2:length(raw_signal)
    filtered_signal(n) = alpha * raw_signal(n) + (1 - alpha) * filtered_signal(n-1);
end

% 绘图对比
figure;
plot(t, raw_signal, 'Color', [0.8, 0.8, 0.8], 'DisplayName', '原始噪声信号');
hold on;
plot(t, filtered_signal, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', '一阶滤波后');
legend;
title(['一阶低通滤波 (alpha = ', num2str(alpha), ')']);
grid on;

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3. C 语言实现

在嵌入式系统中（如mcu），通常使用结构体或静态变量来维护滤波器的状态。

基础模板如下

C

//********************滤波参数结构体
typedef struct 
{
    float alpha;
    float output;
} FirstOrderFilter;

//********************滤波初始化 （alpha 的设定 和 历史数据清理）
void Filter_Init(FirstOrderFilter *f, float alpha) 
{
    f->alpha = alpha;
    f->output = 0.0f;
}

//********************滤波工作函数
float Filter_Update(FirstOrderFilter *f, float input) 
{
    f->output = f->alpha * input + (1.0f - f->alpha) * f->output;
    return f->output;
}

int main() 
{
    FirstOrderFilter myFilter;
    Filter_Init(&myFilter, 0.1f); // 滤波系数设为0.1

    float test_data[] = {10.0, 12.5, 11.0, 25.0, 13.0}; // 模拟采样输入
    
    for(int i = 0; i < 5; i++) 
    {
        float result = Filter_Update(&myFilter, test_data[i]);
        printf("Input: %.2f -> Output: %.2f\n", test_data[i], result);
    }
    return 0;
}

如果你的 MCU 没有硬件浮点单元（FPU），建议将 $\alpha$ 放大成整数进行运算。

例如：Output = (AlphaInt * Input + (1024 - AlphaInt) * LastOutput) >> 10;（这里使用 $2^{10}=1024$ 作为基数）。

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4. 如何选择 $\alpha$？

$\alpha$ 的选取通常取决于采样频率 $f_s$ 和你想要的截止频率 $f_c$。

公式推导如下：

$\alpha = \frac{2\pi f_c \Delta t}{2\pi f_c \Delta t + 1} \approx 2\pi f_c / f_s$

• 如果你想滤掉大部分抖动，减小 $\alpha$ 。
• 如果你发现系统响应太慢（信号慢半拍），增大 $\alpha$ 。

具体$\alpha$选取不仅考虑滤波最终效果，还要考虑对于系统实时性的把控。