LeetCode 123. 买卖股票的最佳时机 III & 188. 买卖股票的最佳时机 IV股票买卖系列是LeetCo

股票买卖系列是LeetCode动态规划模块的经典题型，其中123题（最多2笔交易）和188题（最多k笔交易）一脉相承，前者是后者的特殊情况（k=2），掌握两者的解题逻辑，能轻松吃透“有限次交易”类股票问题。本文将结合官方最优解法，详细拆解两道题的思路、代码细节，以及两者的关联与区别，帮你快速掌握这类题的核心套路。

一、LeetCode 123. 买卖股票的最佳时机 III（最多2笔交易）

1. 题目核心要求

给定一个股票价格数组prices，第i个元素是第i天的股票价格，要求设计算法计算最大利润，最多可完成2笔交易，且不能同时持有多支股票（再次购买前必须出售之前的股票）。

2. 解题思路（动态规划）

这类有限次交易的股票问题，核心是用动态规划跟踪“不同交易次数下的持有/不持有股票状态”，因为最多2笔交易，状态数量有限，无需用二维数组，直接用变量即可优化空间复杂度。

关键状态定义（每天更新4个核心变量）：

buy1：完成0笔交易后，持有1支股票的最大利润（本质是“第一次买入”的最优状态，此时利润为负，即 -prices[i]）；
sell1：完成1笔交易后，不持有股票的最大利润（第一次卖出后的最优收益）；
buy2：完成1笔交易后，持有1支股票的最大利润（第二次买入的最优状态，用第一次卖出的利润减去当前股价）；
sell2：完成2笔交易后，不持有股票的最大利润（第二次卖出后的最优收益，也是我们最终要返回的结果）。

状态转移逻辑：每天遍历股价，依次更新4个变量，保证每个状态都是当前最优（取最大值）。因为交易有先后顺序（必须先买后卖、先完成第一笔再完成第二笔），所以更新顺序不能乱，必须先更新buy1、sell1，再更新buy2、sell2。

3. 代码解析（最优解法，时间O(n)，空间O(1)）

function maxProfit(prices: number[]): number {
  const len = prices.length;
  // 初始化：第一天买入两次（理论上不可能，但初始值不影响后续更新，统一设为-prices[0]）
  let buy1 = -prices[0], buy2 = -prices[0];
  // 初始化：未进行任何交易时，卖出利润为0
  let sell1 = 0, sell2 = 0;
  for (let i = 0; i < len; i++) {
    // 第一次买入：取“之前的buy1”和“当前股价买入（-prices[i]）”的最大值
    buy1 = Math.max(buy1, -prices[i]);
    // 第一次卖出：取“之前的sell1”和“当前buy1 + 股价（卖出获利）”的最大值
    sell1 = Math.max(sell1, buy1 + prices[i]);
    // 第二次买入：取“之前的buy2”和“第一次卖出的利润 - 当前股价（用第一笔利润买第二笔）”的最大值
    buy2 = Math.max(buy2, sell1 - prices[i]);
    // 第二次卖出：取“之前的sell2”和“当前buy2 + 股价（第二笔卖出获利）”的最大值
    sell2 = Math.max(sell2, buy2 + prices[i]);
  }
  // 最多完成2笔交易，sell2就是完成2笔的最大利润；若只完成1笔，sell2也会等于sell1（第二笔未进行）
  return sell2;
};

关键细节补充：

初始化时，buy1和buy2都设为 -prices[0]，因为第一天如果买入，无论第一次还是第二次（虽然实际不能同时买，但初始值不影响，后续会被更新），利润都是 -prices[0]；
循环从i=0开始（也可从i=1开始，结果一致），因为第一天的股价会更新buy1，后续天数逐步优化各个状态；
最终返回sell2，因为sell2包含了“完成0笔、1笔、2笔交易”的最优情况——若0笔交易，sell2=0；若1笔交易，sell2=sell1；若2笔交易，sell2就是最优值。

4. 示例验证

示例1：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4] → 最大利润6

解析：第一次在第4天（价格0）买入，第6天（价格3）卖出，获利3；第二次在第7天（价格1）买入，第8天（价格4）卖出，获利3，总利润6，对应sell2的最终值。

示例2：prices = [1,2,3,4,5] → 最大利润4

解析：最优策略是只做1笔交易（第1天买，第5天卖），此时sell2 = sell1 = 4，符合预期。

二、LeetCode 188. 买卖股票的最佳时机 IV（最多k笔交易）

1. 题目核心要求

给定股票价格数组prices和整数k，要求计算最多完成k笔交易的最大利润，规则同上（不能同时持有多支股票，先卖后买）。

注意：这道题是123题的通用版，当k=2时，解法完全可以复用123题的思路；当k≥len/2时（len是prices长度），相当于“无限次交易”（因为每天最多完成1笔交易，len天最多完成len/2笔），此时可简化为“买卖股票最佳时机II”的解法（贪心），但本文重点讲解通用动态规划解法。

2. 解题思路（动态规划，通用版）

当交易次数扩展到k次时，用变量无法满足状态跟踪需求，因此需要用两个数组分别记录“第j笔交易的持有状态”和“第j笔交易的卖出状态”：

buy[j]：完成j-1笔交易后，持有1支股票的最大利润（即第j次买入后的最优状态）；
sell[j]：完成j笔交易后，不持有股票的最大利润（即第j次卖出后的最优状态）。

状态转移逻辑：

对于每一天的股价，遍历每一笔交易（从1到k），依次更新buy[j]和sell[j]；
buy[j] = max(buy[j], sell[j-1] - prices[i])：第j次买入，要么保持之前的持有状态，要么用第j-1次卖出的利润买入当前股票；
sell[j] = max(sell[j], buy[j] + prices[i])：第j次卖出，要么保持之前的卖出状态，要么卖出当前持有的股票（用第j次买入的状态计算利润）。

初始化：buy数组初始化为-∞（表示初始状态下，未进行任何交易，无法持有股票），sell数组初始化为0（未进行任何交易，利润为0）；buy[0]无需考虑（因为0笔交易无法买入）。

3. 代码解析（最优解法，时间O(nk)，空间O(k)）

function maxProfit(k: number, prices: number[]): number {
  const len: number = prices.length;
  // 特殊情况：股价数组长度≤1，或k=0，无利润可赚
  if (len <= 1 || k === 0) return 0;
  // 优化：当k≥len/2时，相当于无限次交易，用贪心算法（此处可省略，不影响通用解法，但能提升效率）
  if (k >= len / 2) {
    let profit = 0;
    for (let i = 1; i < len; i++) {
      if (prices[i] > prices[i-1]) profit += prices[i] - prices[i-1];
    }
    return profit;
  }
  // buy[j]：第j次买入后的最大利润（完成j-1笔交易，持有股票）
  // sell[j]：第j次卖出后的最大利润（完成j笔交易，不持有股票）
  const buy: number[] = new Array(k + 1).fill(-Infinity), sell: number[] = new Array(k + 1).fill(0);
  for (let i = 0; i < len; i++) {
    // 遍历每一笔交易，从1到k（j=0无意义，跳过）
    for (let j = 1; j <= k; j++) {
      // 先更新买入状态，再更新卖出状态（顺序不能乱，避免用当天更新的sell[j]计算buy[j]）
      buy[j] = Math.max(buy[j], sell[j - 1] - prices[i]);
      sell[j] = Math.max(sell[j], buy[j] + prices[i]);
    }
  }
  // 最多完成k笔交易，sell[k]就是最优利润
  return sell[k];
};

关键细节补充：

特殊情况处理：当len≤1（无交易空间）或k=0（无交易次数），直接返回0；当k≥len/2，用贪心算法（因为每天最多赚一次差价，len天最多len/2笔交易，超过则相当于无限次），提升效率；
数组初始化：buy数组用-∞，因为初始时未进行任何交易，无法持有股票，只有当进行第j次买入时，才会更新为有效利润；sell数组用0，因为未进行任何交易时利润为0；
循环顺序：先遍历每天的股价，再遍历每笔交易，且先更新buy[j]再更新sell[j]，避免用当天刚更新的sell[j]去计算buy[j]（导致逻辑错误，相当于“同一天又买又卖”）。

4. 示例验证

示例1：k=2，prices = [3,2,6,5,0,3] → 最大利润7

解析：对应123题的场景，第一次在第2天（2）买入，第3天（6）卖出（获利4）；第二次在第5天（0）买入，第6天（3）卖出（获利3），总利润7，sell[2] = 7。

示例2：k=1，prices = [7,1,5,3,6,4] → 最大利润5

解析：最多1笔交易，第2天买入（1），第5天卖出（6），获利5，sell[1] = 5。

三、两道题的关联与核心总结

1. 关联点

188题是123题的通用版：当k=2时，188题的解法完全等价于123题，只是123题用变量（buy1、sell1、buy2、sell2）替代了188题的数组（buy[1]、sell[1]、buy[2]、sell[2]），本质都是跟踪“每笔交易的持有/卖出状态”；
核心逻辑一致：都是通过动态规划，每天更新“买入”和“卖出”状态，保证每个状态都是当前最优（取最大值），且严格遵循“先买后卖、先完成前一笔交易再进行下一笔”的规则；
空间优化思路一致：123题用变量优化了188题的数组（k=2时，数组长度为3，可简化为4个变量），本质都是“用有限的空间跟踪有限的状态”。

2. 核心区别

交易次数灵活性：123题固定最多2笔交易，状态数量固定（4个变量）；188题支持任意k笔交易，需用数组跟踪k个交易次数的状态；
特殊情况处理：188题需要考虑k≥len/2的情况（简化为无限次交易），而123题k=2，无需考虑此情况（除非len≤4，此时2笔交易已达上限）；
空间复杂度：123题是O(1)，188题是O(k)（k为交易次数）。

3. 解题通用套路（有限次交易股票问题）

无论是最多2笔、k笔，核心套路都是：

定义状态：用buy[j]表示“第j次买入后的最大利润”，sell[j]表示“第j次卖出后的最大利润”（j从1到最大交易次数）；
初始化状态：buy数组初始化为-∞（无法初始持有），sell数组初始化为0（无交易利润）；
状态转移：每天遍历股价，依次更新每笔交易的buy[j]和sell[j]（先买后卖）；
返回结果：sell[最大交易次数]（包含了0到最大交易次数的所有最优情况）。

四、总结

123题和188题是有限次股票交易的典型代表，掌握这两道题，就能举一反三解决所有“最多n笔交易”的股票问题。核心是理解“动态规划跟踪交易状态”的思路——不纠结于具体哪一天买卖，而是通过每天更新状态，自然得到最优解。

建议先吃透123题的变量优化思路，再过渡到188题的数组通用思路，重点关注状态转移的顺序和初始化的逻辑，就能轻松攻克这类题型。如果遇到更复杂的股票问题（如含冷冻期、手续费），也可以基于此思路扩展状态定义即可。