密码学Cryptography and Information Security(1)

古典密码学

基本定义

一个密码系统是由如下五元组定义的

• P：有限的可能明文的集合。（明文空间）
• C：有限的可能密文的集合。（密文空间）
• K：密钥空间，是有限的可能密钥的集合。
• E：加密函数空间。
• D：解密函数空间。

剩余类

在密码学中，很多运算（如 Caesar 密码、Affine 密码）是在模 m 运算下进行的。

乘法可逆剩余类

要点：所有与m互素的数

移位密码

移位密码（也叫凯撒密码）是最简单的替换密码之一。它通过将字母在字母表中向后移动固定位置来加密。

例2.1 假设移位密码的密钥 K=11，明文为：

wewillmeetatmidnight.

解答

首先，我们按照指定的对应关系（a=0, b=1, ..., z=25）将明文转换为整数序列，得到以下结果：

22	4	22	8	11	11	12	4	4	19
0	19	12	8	3	13	8	6	7	19

接着，我们将每个数值加上 11，并将结果模 26 化简：

7	15	7	19	22	22	23	15	15	4
11	4	23	19	14	24	19	17	18	4

最后，将整数序列转换回字母，得到密文：

HPHTWWXPPELEXTOTYRSE

为了解密密文，我们首先将密文转换为整数序列，然后每个数减去 11（并模 26 处理），最后再将整数序列转换回字母。

替换密码

这种密码系统已使用了数百年。报纸上的“密文”谜题就是替换密码的例子。

例如，一个具体的密钥 π∈K（密钥空间）：

明文	a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	l	m
密文	X	N	Y	A	H	P	O	G	Z	Q	W	B	T

明文	n	o	p	q	r	s	t	u	v	w	x	y	z
密文	S	F	L	R	C	V	M	U	E	K	J	D	I

加密示例：hello → GHBBF
解密示例：OFFA → good

这种密码的密钥总量是 26! 种可能，暴力搜索几乎不可行，但由于没有隐藏明文的统计特征（如字母频率），很容易被频率分析攻破。

欧拉函数

什么是“互素”,gcd(a,m)=1, 意思是：a 和 m 没有任何公共因子（除了1）。 比如：

• 3 和 10 → 互素 ✅
• 4 和 10 → 不互素（因为都有因子2）❌

欧拉函数表示，在 1 到 m 之间，有多少个数和 m 互素。 那最后的公式该怎样理解呢？举个栗子：

乘法逆元

乘法逆元可以理解为：一个数的“模意义下的倒数”。

举个栗子：

一个数在 mod 质数下都有逆元，所以模素数的世界非常“干净”。

这个概念是这些东西的基础，所以很重要：

• RSA 加密
• 椭圆曲线
• 模逆（算法题常考）
• 线性代数（有限域）

Z26中的逆元：