LeetCode中等难度的经典题目——64. 最小路径和，这道题是动态规划（DP）的入门必刷题，既能帮我们理解DP的核心思想，又能掌握网格类问题的解题套路。
一、题目解读：明确需求，找对方向
题目很简洁：给定一个 m x n 的网格，网格里全是非负整数，要求找出从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和最小。还有一个关键限制——每次只能向下或者向右移动一步。
举个简单例子帮助理解：如果网格是 [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]，那么最小路径就是 1→3→1→1→1，总和是7；或者 1→1→4→2→1，总和也是7（两种路径均可，核心是总和最小）。
这里要注意两个关键点：
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移动方向限制：只能向下、向右，不能向上、向左，这决定了每个格子的“前序格子”只有两个（上方或左方）；
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非负整数：网格中没有负数，不用担心“绕路”能得到更小总和，只需专注于当前格子的最小路径推导。
二、解题思路：为什么用动态规划？
拿到这道题，首先会想到暴力解法——枚举所有从左上角到右下角的路径，计算每条路径的总和，再取最小值。但这样做的时间复杂度是 O(2^(m+n))，当 m 和 n 稍大（比如超过10），就会超时，显然不现实。
这时候就需要动态规划出场了。DP的核心思想是“重叠子问题”和“最优子结构”，咱们结合这道题拆解：
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重叠子问题：从左上角到右下角的最小路径，依赖于“从左上角到当前格子的最小路径”，而多个格子的最小路径会重复计算同一个子路径（比如走到 (i,j) 和 (i+1,j)，都可能用到 (i,j-1) 的路径和）；
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最优子结构：当前格子 (i,j) 的最小路径和，等于“上方格子 (i-1,j) 的最小路径和”和“左方格子 (i,j-1) 的最小路径和”中的较小值，再加上当前格子的值（因为只能从这两个方向过来）。
基于这个思路，我们可以用一个DP数组来存储每个格子的最小路径和，一步步推导到右下角，就能得到答案。
三、代码解析：逐行拆解，读懂每一步
先贴出完整代码（TypeScript版本，和题目给出的一致），再逐行拆解核心逻辑：
function minPathSum(grid: number[][]): number {
const m = grid.length;
const n = grid[0].length;
const dp = Array.from({ length: m }, () => new Array(n).fill(Infinity));
dp[0][0] = grid[0][0];
for (let i = 0; i < m; i++) {
for (let j = 0; j < n; j++) {
if (i === 0 && j === 0) continue;
dp[i][j] = Math.min(
(j - 1) >= 0 ? dp[i][j - 1] : Infinity,
(i - 1) >= 0 ? dp[i - 1][j] : Infinity
) + grid[i][j];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
};
1. 初始化：定义DP数组及边界值
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const m = grid.length：获取网格的行数 m； -
const n = grid[0].length：获取网格的列数 n（前提是网格非空，题目中默认grid有有效数据）； -
const dp = Array.from({ length: m }, () => new Array(n).fill(Infinity))：创建一个和原网格大小一致的DP数组，初始值填充为无穷大（Infinity）。为什么用无穷大？因为我们要取“最小值”，初始化为无穷大，才能保证后续取min时，能正确拿到有效的前序路径和； -
dp[0][0] = grid[0][0]：边界条件——左上角格子（起点）的最小路径和，就是它本身的值（没有前序路径）。
2. 双重循环：遍历所有格子，推导DP值
用双重for循环遍历网格的每一个格子（i从0到m-1，j从0到n-1），逐个计算每个格子的最小路径和：
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if (i === 0 && j === 0) continue：跳过起点（已经初始化过，无需重复计算）； -
Math.min( (j - 1) >= 0 ? dp[i][j - 1] : Infinity, (i - 1) >= 0 ? dp[i - 1][j] : Infinity )：这是核心逻辑，计算“左方格子”和“上方格子”的最小路径和。这里要注意边界判断：-
当 j=0 时（第一列），没有左方格子，所以左方路径和设为无穷大（相当于只能从上方过来）；
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当 i=0 时（第一行），没有上方格子，所以上方路径和设为无穷大（相当于只能从左方过来）；
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+ grid[i][j]：当前格子的路径和，是前序最小路径和加上当前格子的值（因为要经过当前格子）。
3. 返回结果：右下角的DP值
return dp[m - 1][n - 1]：遍历完成后，DP数组右下角的数值，就是从左上角到右下角的最小路径和（因为我们已经推导完所有格子的最优路径）。
四、代码优化：空间复杂度降低（可选）
上面的代码空间复杂度是 O(m*n)（因为创建了一个m x n的DP数组），其实我们可以优化到 O(1)，不需要额外创建DP数组，直接在原网格上修改即可。
思路：原网格的每个格子的值，替换成“到当前格子的最小路径和”，因为原网格的数值在计算完成后就不再需要（非负整数，不影响后续计算）。优化后的代码如下：
function minPathSum(grid: number[][]): number {
const m = grid.length;
const n = grid[0].length;
// 初始化第一行（只能从左向右走）
for (let j = 1; j < n; j++) {
grid[0][j] += grid[0][j - 1];
}
// 初始化第一列（只能从上向下走）
for (let i = 1; i < m; i++) {
grid[i][0] += grid[i - 1][0];
}
// 遍历剩余格子
for (let i = 1; i < m; i++) {
for (let j = 1; j < n; j++) {
grid[i][j] += Math.min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);
}
}
return grid[m - 1][n - 1];
};
优化点说明：
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第一行只能从左向右走，所以每个格子的路径和 = 前一个格子的路径和 + 当前格子值；
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第一列只能从上向下走，所以每个格子的路径和 = 上一个格子的路径和 + 当前格子值；
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剩余格子，直接用原网格的值累加左方或上方的最小值，无需额外空间。
五、常见易错点提醒
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边界判断遗漏：忘记判断 j=0 或 i=0 的情况，导致取到 dp[i][j-1] 或 dp[i-1][j] 时出现数组越界；
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DP数组初始化错误：没有将 dp[0][0] 设为 grid[0][0]，或者初始值没有用无穷大，导致后续计算出现偏差；
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循环顺序错误：必须从左上角到右下角遍历，不能反向（反向无法获取前序格子的最优路径和）。
六、总结：掌握网格类DP的通用套路
这道题虽然简单，但能帮我们总结出网格类DP的通用思路，以后遇到类似题目（比如“不同路径”“最小路径和变种”）都能套用：
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定义DP数组：dp[i][j] 表示“从起点到 (i,j) 的最优解”（本题是最小路径和）；
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确定边界条件：起点的DP值，以及第一行、第一列的DP值（因为移动方向限制，这些格子的前序路径唯一）；
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推导状态转移方程：根据移动方向，确定当前格子的前序格子，进而写出DP值的计算方式（本题是 dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]）；
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遍历网格，计算所有DP值，最终返回终点的DP值。
