射线与三角形相交检测（最优解）

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常规算法

一种很常规的思路就是先计算射线与三角面的交点，再看该交点是否在三角形内部

快速，最少存储的射线与三角形相交检测

一条射线 R(t),我们可以通过一个起点和一个规一化后的方向量D来定义

R(t)=O+tD（t属于实数）R(t)= O + tD （t属于实数）

假设三角形有三个顶点分别用V0,V1,V2V_0, V_1, V_2 。

假设有一个点 T(u,v)T(u, v) ，在三角形内，那我们就可以用下面的式子表示这个点

T(u,v)=(1−u−v)V0+uV1+vV2T(u, v) = (1-u-v)V_0 + uV_1 + vV_2

(u,v)(u,v) 是三角形的重心坐标，所以 u≥0,v≥0而且u+v≤1u\ge0, v\ge0 而且 u+v\le 1。

结合上面的知识那么射线 R(t)R(t)和三角形 T(u,v)T(u,v) 相交就可以等价于求 R(t)=T(u,v)R(t)=T(u,v),我们就会得到下面的方程

O+tD=(1−u−v)V0+uV1+vV2O+tD=(1-u-v)V_0 + uV_1 + vV_2

整理上面的方法我们会得到这样一个线性方程

[−D,V1−V0,V2−V0][tuv]=O−V0(4)\begin{bmatrix} -D, & V_1 - V_0, & V_2 - V_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ u \\ v \end{bmatrix} = O - V_0 \tag{4}

我们用E1=V1−v0,E2=v2−v0，T=O−V0E_1=V_1-v_0, E_2=v_2-v_0， T=O-V_0, (4)式经过 克莱姆法则我们可以得到如下矩阵表达

[tuv]=1∣−D, E1, E2∣[T,E1,E2−D,T,E2−D,E1,T](5)\begin{bmatrix} t \\ u \\ v \end{bmatrix} = \frac{1}{\left| -D,\ E_1,\ E_2 \right|} \begin{bmatrix} T, & E_1, & E_2 \\ -D, & T, & E_2 \\ -D, & E_1, & T \end{bmatrix} \tag{5}

根据线性方程，我们可以知道 ∣A, B, C∣=(A×B)⋅C=−(A×C)⋅B=−(C×B)⋅A\left| A,\ B,\ C \right|= (A \times B) \cdot C = -(A \times C) \cdot B = -(C \times B) \cdot A,经过变换方程（5）可以变换成下列方程，其中 P=(D×E2),Q=T×E1P=(D \times E_2), Q=T \times E_1

[tuv]=1(D×E2)⋅E1[(T×E1)⋅E2(D×E2)⋅T(T×E1)⋅D]=1P⋅E1[Q⋅E2P⋅TQ⋅D],(6)\begin{bmatrix} t \\ u \\ v \end{bmatrix} = \frac{1}{(D \times E_2) \cdot E_1} \begin{bmatrix} (T \times E_1) \cdot E_2 \\ (D \times E_2) \cdot T \\ (T \times E_1) \cdot D \end{bmatrix} = \frac{1}{P \cdot E_1} \begin{bmatrix} Q \cdot E_2 \\ P \cdot T \\ Q \cdot D \end{bmatrix}, \tag{6}

通过解上面的线性方程我们就可以分别求得 u,v,tu, v, t 的值，如果不在允许的范围内，则可以判定射线与三角形不相交。

论文参考 Fast,Minimum Storage Ray & Triangle Intersection

克莱姆解线性方程组可以查阅文章：克莱姆法则

三矢量的混合积：矢量混合积

注：下节我会结合 Threejs 的源码来解答此方程在工程上的实际应用问题

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