深度强化学习入门：从倒立摆游戏看懂AI如何“自己学会走路”

谷歌AlphaGo击败李世石、OpenAI的Dota2 AI碾压人类冠军、特斯拉自动驾驶不断进化——这些AI奇迹的背后，都依赖同一项核心技术：强化学习。
今天，我们不堆砌复杂的数学公式，而是通过一个经典的“倒立摆”小游戏，从零开始把强化学习的每一个核心概念讲清楚、讲透彻。
全文包含完整可运行的Python代码，你可以在自己的电脑上亲手训练出一个会自己“顶杆子”的AI。
建议收藏，慢慢消化。

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1 强化学习是什么？一个“训练小狗”的故事就能讲明白

1.1 从狗子学坐下说起

你养了一只小土狗。刚到家时，它什么都不会：乱拉乱尿、扑人、咬拖鞋。
你想让它学会“坐下”。你会怎么做？

• 当它坐下时，你立刻给一块鸡肉干（正奖励）。

• 当它没坐下时，你不给零食，甚至轻声说“不”（没奖励/负反馈）。

一开始狗子是乱蒙的。但蒙对几次之后，它发现了一个规律：“只要我屁股一着地，就有肉吃！”
于是它坐下的次数越来越多。最后，不管在客厅、公园还是宠物店，只要你喊“坐”，它立刻坐得端端正正。

这个“训练小狗”的过程，就是强化学习的完整写照。

1.2 把故事翻译成强化学习的术语

狗子学坐下	强化学习术语	数学符号（可选）
小狗	智能体（Agent）	—
你家（包括你、地板、零食）	环境（Environment）	—
你喊“坐”的那一刻	状态（State）	ss
小狗做“坐下”或“不坐下”	动作（Action）	aa
你给肉干或“啧”一声	奖励（Reward）	rr
小狗最后学会的“听见坐就坐下”	策略（Policy）	( \pi(a	s) )

一句话定义强化学习：
强化学习 = 智能体通过不断与环境交互、试错，根据获得的奖励反馈，学会“在什么状态下做什么动作”才能最大化累积奖励。

1.3 强化学习的核心交互循环

强化学习由智能体和环境两部分组成。它们之间的交互可以用下面这个循环来描述：

每一步（称为一个时间步）：

1. 智能体观察当前状态 StSt。

2. 智能体根据策略选择一个动作 AtAt。

3. 环境执行该动作，返回新的状态 St+1St+1 和一个即时奖励 RtRt。

4. 智能体收到奖励，更新自己的策略，然后进入下一轮。

智能体的唯一目标：在长期过程中，从环境里拿到尽可能多的总奖励。

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2 强化学习的“Hello World”：倒立摆（CartPole）环境

每个领域都有一个最经典的入门例子：

• 编程入门：print("Hello World")

• 电子入门：点亮一颗LED

• 强化学习入门：倒立摆（CartPole）

2.1 倒立摆长什么样？

想象一辆小推车，放在一条水平的轨道上。推车上立着一根木杆。
你可以控制推车向左或向右移动。
目标：让木杆保持直立，不要倒下。

这跟你小时候用手掌顶铅笔是一模一样的道理：铅笔往左歪，手就往左移；往右歪，手就往右移。

2.2 游戏规则（超简单）

项目	具体内容
智能体	小推车
动作空间	两个动作：0 = 向左推，1 = 向右推
状态空间	4个连续数值：小车位置、小车速度、杆子角度、杆子角速度
奖励规则	每存活一步，获得 +1 奖励
游戏结束条件	① 杆子倾斜角度超过12°（倒下） ② 小车偏离中心超过2.4个单位（掉轨） ③ 成功坚持200步（满分通关）

关键洞察：这是一个典型的“延迟满足”问题。如果智能体只贪图眼前利益（比如总是朝一个方向推），短期内可能没问题，但长远来看必然倒下。
强化学习的精髓，就在于平衡“探索”（探索未知动作）与“利用”（使用已知好动作）。

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3 把游戏“翻译”成AI能看懂的数字

AI不认识“左”“右”“角度”，只认识数字。所以我们必须把一切变成数字。

3.1 状态（State）

每一时刻，环境会输出一个状态，用 ss 表示。
倒立摆的状态是一个包含 4个浮点数 的数组：

[ 0.02,   # 小车位置：0是正中间，负数是左边，正数是右边
  0.15,   # 小车速度：负数是向左移动，正数是向右移动
 -0.03,   # 杆子角度：负数是向左歪，正数是向右歪（弧度）
 -0.10 ]  # 杆子角速度：负数是正在向左倒，正数是正在向右倒

对AI来说，整个“世界”就是这4个数字。它看不到杆子，只看到 -0.03 这个数字。

3.2 动作（Action）

动作 aa 只有两个取值：

0   # 向左推
1   # 向右推

3.3 奖励（Reward）

奖励 rr 就是分数：每存活一步，r = 1。
如果游戏结束（杆子倒下或小车出界），则不再有新的奖励。

3.4 策略（Policy）——智能体的“大脑”

策略就是“看到什么状态，就做什么动作”的规则，用字母 ππ（读“派”）表示。
在数学上，策略通常输出的是一个概率分布，而不是一个确定的动作。例如：

π(向左推∣s)=0.7,π(向右推∣s)=0.3π(向左推∣s)=0.7,π(向右推∣s)=0.3

也就是说，在状态 ss 下，AI有70%的概率选向左推，30%的概率选向右推。
然后AI按这个概率随机抽样来决定实际动作。

为什么要随机？
如果永远只选概率最大的动作，就可能错过更好的长远策略。就像你天天吃同一家外卖，永远不会发现隔壁新开的店更好吃。

探索（Exploration）：偶尔尝试概率低的动作。
利用（Exploitation）：大多数时候选择概率高的动作。
平衡两者，是强化学习的核心挑战之一。

3.5 策略的数学表达

π(a∣s)=P(At=a∣St=s)π(a∣s)=P(At=a∣St=s)

这个式子读作：“在状态 ss 的条件下，智能体采取动作 aa 的概率”。

如果这个 ππ 函数是一个神经网络，那么我们就进入了深度强化学习的领域——这也是当今AI界最热门的方向之一。

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4 第一个可运行的例子：随机智能体

在让AI学会学习之前，我们先写一个完全不学习的智能体：不管状态如何，随机向左或向右推。
它肯定玩不好，但可以让我们看清一局游戏的完整流程。

4.1 安装依赖

首先，确保安装了必要的库：

pip install gym==0.25.2 numpy

4.2 代码实现

import gym
import random
 
# 1. 创建倒立摆环境
env = gym.make("CartPole-v0")
 
# 2. 随机策略：完全不看状态，随机返回 0 或 1
def random_policy(state):
    return random.choice([0, 1])
 
# 3. 玩一局（一个 episode）
state = env.reset()        # 重置环境，得到初始状态 S0
done = False               # 游戏是否结束
total_reward = 0
 
while not done:
    env.render()           # 弹窗显示画面
    action = random_policy(state)      # 随机选动作
    next_state, reward, done, _ = env.step(action)  # 执行动作
    total_reward += reward
    state = next_state
 
print(f"游戏结束，总共获得奖励: {total_reward}")
env.close()

运行结果：你会看到一个小车在屏幕上左右乱推，杆子很快倒下，得分大概在10~30之间（满分200）。
这个“傻AI”告诉我们：没有学习能力，再简单的任务也完不成。

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5 轨迹和回报：怎么定义“玩得好”？

5.1 轨迹（Trajectory）

一局游戏从开始到结束，会产生一串数据：

τ=(S0,A0,R0,S1,A1,R1,S2,A2,R2,… )τ=(S0,A0,R0,S1,A1,R1,S2,A2,R2,…)

这叫做一条轨迹。由于策略和环境都有随机性，从同一个初始状态出发，每次运行得到的轨迹都可能不同。

5.2 回报（Return）：未来的钱要打折

假设一局游戏持续了 TT 步，每步奖励都是1，简单加起来是 TT 分。
但是，未来的1分和现在的1分，价值一样吗？
显然不一样——今天给你100块钱，和一年后给你100块钱，你肯定选今天。

在倒立摆中，如果杆子马上就要倒了，那么“现在立刻救一下”比“等两秒再救”重要得多。
因此，我们需要给未来的奖励打个折扣。这个折扣率叫做 折扣因子 γγ（gamma），通常取 0.9 或 0.99。

折扣总回报（Return） 的定义：

Gt=Rt+γRt+1+γ2Rt+2+γ3Rt+3+…Gt=Rt+γRt+1+γ2Rt+2+γ3Rt+3+…

例如：γ=0.9γ=0.9，奖励全为1，运行4步：

G0=1+0.9×1+0.81×1+0.729×1=3.439G0=1+0.9×1+0.81×1+0.729×1=3.439

越远的奖励贡献越小。

5.3 递推公式（非常重要！）

从上面的定义可以推出：

Gt=Rt+γGt+1Gt=Rt+γGt+1

这个递推关系使得我们可以从最后一步倒着往前计算回报，非常高效。

5.4 代码实现：计算回报

def compute_discounted_return(rewards, gamma=0.99):
    """
    逆序计算折扣总回报
    rewards: 列表，例如 [1, 1, 1, 1]
    """
    G = 0
    for r in reversed(rewards):   # 从最后一步往前遍历
        G = r + gamma * G
    return G
 
# 示例
rewards = [1, 1, 1, 1]
total = compute_discounted_return(rewards, gamma=0.9)
print(total)   # 输出 3.439

这个计算方法在几乎所有强化学习算法中都会用到，请务必理解。

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6 价值函数：如何判断一个状态是“好”还是“坏”？

到目前为止，我们只能计算一整局的总回报。但AI在学习过程中，需要知道：当前这个状态，到底值不值得？

• 杆子角度 = -10°（快倒了） → 这个状态很糟糕。

• 杆子角度 = 0.5°（很正） → 这个状态很好。

状态价值函数 Vπ(s)Vπ(s) 就是用来量化“状态好坏”的。

6.1 定义

Vπ(s)=Eπ[Gt∣St=s]Vπ(s)=Eπ[Gt∣St=s]

通俗解释：从状态 ss 出发，按照策略 ππ 一直玩下去，平均能拿到的折扣总回报。

• 由于策略和环境都有随机性，我们取期望值（平均值）。

• 下标 ππ 表示这个价值依赖于策略——换一个策略，同一个状态的价值也会变。

6.2 生活类比

• V(你当前的职位)V(你当前的职位) = 你现在工资 + 未来升职加薪的期望（打折后）。

• 如果公司前景好，即使当前工资不高，价值也可能很高。

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7 贝尔曼方程：强化学习的“心脏”

贝尔曼方程是强化学习里最重要的公式，没有之一。它表达了当前状态价值与下一状态价值之间的关系。

7.1 贝尔曼期望方程（最简洁的形式）

Vπ(s)=Eπ[Rt+γVπ(St+1)∣St=s]Vπ(s)=Eπ[Rt+γVπ(St+1)∣St=s]

用大白话说：一个状态的价值 = 眼下这一步能拿到的奖励的平均值 + 折扣后的下一个状态的平均价值。

7.2 展开形式（更具体）

Vπ(s)=∑aπ(a∣s)∑s′p(s′∣s,a)[r(s,a,s′)+γVπ(s′)]Vπ(s)=a∑π(a∣s)s′∑p(s′∣s,a)[r(s,a,s′)+γVπ(s′)]

这个式子看起来复杂，但意思很直接：

• 对所有可能的动作 aa 求和（乘以选这个动作的概率）。

• 对每个动作，考虑所有可能跳转到的下一个状态 s′s′（乘以跳转概率）。

• 括号里是：即时奖励 + 折扣 × 下一状态的价值。

7.3 为什么贝尔曼方程如此重要？

因为它把当前决策的价值和未来决策的价值联系了起来，形成了递归结构。
几乎所有强化学习算法（Q-learning、DQN、A2C、PPO……）都直接或间接地使用贝尔曼方程来更新价值估计或策略。

你不需要立刻背下展开形式，但一定要记住核心思想：
现在的好状态 = 现在的收益 + 未来的好状态（打折）。

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8 马尔可夫决策过程（MDP）——强化学习的数学框架

8.1 什么是MDP？

马尔可夫决策过程（Markov Decision Process）是强化学习的标准数学模型。它由以下五个要素组成：

MDP=(S,A,P,R,γ)MDP=(S,A,P,R,γ)

符号	含义	倒立摆示例
SS	状态空间	R4R4 （连续）
AA	动作空间	{0, 1}
( P(s'	s,a) )	状态转移概率	物理引擎决定（确定性）
R(s,a,s′)R(s,a,s′)	奖励函数	存活时=1，结束时=0
γγ	折扣因子	0.99

8.2 马尔可夫性质（Markov Property）

MDP的核心假设是马尔可夫性质：下一个状态只取决于当前状态和当前动作，与历史无关。

P(St+1∣St,At,St−1,At−1,… )=P(St+1∣St,At)P(St+1∣St,At,St−1,At−1,…)=P(St+1∣St,At)

通俗理解：“未来只取决于现在，与过去无关。”

• 在倒立摆中，你只需要知道“当前的位置、速度、角度、角速度”，就能决定怎么推；不需要知道10步前小车在哪里。

• 这个假设极大地简化了问题，否则AI需要记住整个历史，计算量会爆炸。

8.3 状态转移和奖励函数

• 状态转移概率

  ：p(s′∣s,a)p(s′∣s,a) 表示在状态 ss 执行动作 aa 后，跳转到 s′s′ 的概率。

• 奖励函数

  ：r(s,a,s′)r(s,a,s′) 表示在状态 ss 执行动作 aa 并到达 s′s′ 时获得的即时奖励。

在倒立摆中，状态转移是确定性的（给定当前状态和动作，下一状态由物理方程唯一确定），所以 p(s′∣s,a)=1p(s′∣s,a)=1 对某个特定的 s′s′，其余为0。
但在其他环境（如棋类游戏，对手下棋有随机性）中，转移概率是随机的。

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9 奖励稀疏性：当AI永远拿不到分

9.1 什么是奖励稀疏？

倒立摆中，每一步都有+1奖励，这叫稠密奖励。
但很多现实问题是稀疏奖励，例如：

让机器人把插头插进插座。
只有完全插进去的那一步才给奖励1，其他所有步都是0。

在这种情况下，AI可能永远也得不到任何奖励，因为一开始完全乱动，永远碰不到“插进去”这个状态。这就是奖励稀疏性问题。

9.2 常见的解决方法

方法	通俗解释
奖励塑造	设计中间奖励，例如“靠近插座给0.1分”“对准插孔给0.5分”。
课程学习	先让插头离插座很近，AI轻松成功；学会了再慢慢拉远距离。
分层强化学习	先学“移动到插座附近”，再学“对准插孔”，最后学“插入”。
好奇心驱动	鼓励AI探索未见过的状态，即使没有外部奖励，也能获得内部奖励。

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10 动手实现一个会学习的AI：REINFORCE算法

前面我们写的“随机智能体”不会学习。
现在，我们用神经网络来写一个能真正学习的AI。算法叫做 REINFORCE（蒙特卡洛策略梯度），是策略梯度方法中最简单的一种。

10.1 策略网络（Policy Network）

策略网络就是一个神经网络：

• 输入

  ：当前状态（4个数字）。

• 输出

  ：两个动作的概率（例如 [0.3, 0.7]）。

网络结构：

输入层(4) → 隐藏层(128) → 隐藏层(128) → 输出层(2) → Softmax → 概率

代码实现：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
 
class PolicyNetwork(nn.Module):
    def __init__(self, state_dim=4, action_dim=2, hidden_dim=128):
        super().__init__()
        self.fc1 = nn.Linear(state_dim, hidden_dim)   # 4 → 128
        self.fc2 = nn.Linear(hidden_dim, hidden_dim)  # 128 → 128
        self.fc3 = nn.Linear(hidden_dim, action_dim)  # 128 → 2
 
    def forward(self, x):
        x = F.relu(self.fc1(x))
        x = F.relu(self.fc2(x))
        logits = self.fc3(x)
        return F.softmax(logits, dim=-1)   # 输出概率，且和为1

10.2 REINFORCE的核心思想（大白话）

1. 用当前的策略网络玩一局，记录每一步的 状态、动作、对数概率、即时奖励。

2. 计算每一步的折扣总回报 GtGt（即“从这一步开始以后能拿多少总奖励”）。

3. 调整网络参数：

4. 如果某一步的回报 GtGt 很高 → 让这一步所选动作的概率变大。

5. 如果某一步的回报 GtGt 很低 → 让这一步所选动作的概率变小。

一句话：打得好就奖励这个动作，打得不好就惩罚它。

数学上，我们最大化期望回报，等价于最小化以下损失函数：

Loss=−∑tGtlog⁡π(at∣st)Loss=−t∑Gtlogπ(at∣st)

负号是因为PyTorch默认做梯度下降，而我们要梯度上升。

10.3 完整训练代码（可直接复制运行）

# ==================== 1. 导入必要的库 ====================
# 使用gymnasium替代已废弃的gym库
import gymnasium as gym
import torch
import torch.nn as nn              # 关键修复：解决NameError
import torch.optim as optim
from torch.distributions import Categorical
 
# ==================== 2. 定义策略网络 ====================
class PolicyNet(nn.Module):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        # 定义网络层：4个状态输入 -> 128个神经元 -> 128个神经元 -> 2个动作输出
        self.fc1 = nn.Linear(4, 128)
        self.fc2 = nn.Linear(128, 128)
        self.fc3 = nn.Linear(128, 2)
 
    def forward(self, x):
        x = torch.relu(self.fc1(x))   # 使用ReLU激活函数
        x = torch.relu(self.fc2(x))
        logits = self.fc3(x)
        # 使用Softmax将输出转换为动作的概率分布
        return torch.softmax(logits, dim=-1)
 
# ==================== 3. 数据收集函数 ====================
def collect_trajectory(env, policy, gamma=0.99):
    """
    运行一局游戏，收集训练所需的数据
    返回：动作的对数概率列表 和 每个时间步的折扣回报
    """
    state, _ = env.reset()            # gymnasium的reset返回(state, info)
    log_probs = []                    # 存储每个动作的logπ(a|s)
    rewards = []                      # 存储每个时间步的即时奖励
    done = False
 
    while not done:
        # 将numpy数组转换为PyTorch张量，并添加batch维度
        state_t = torch.FloatTensor(state).unsqueeze(0)
        probs = policy(state_t)        # 获取动作概率分布
        dist = Categorical(probs)      # 创建分类分布
        action = dist.sample()         # 根据概率采样一个动作
        log_probs.append(dist.log_prob(action))  # 记录对数概率
 
        # 执行动作 (gymnasium返回5个值，而不是4个)
        next_state, reward, terminated, truncated, _ = env.step(action.item())
        done = terminated or truncated   # 游戏结束条件
        rewards.append(reward)
        state = next_state
 
    # 逆序计算折扣回报 Gt
    returns = []
    G = 0
    for r in reversed(rewards):
        G = r + gamma * G
        returns.insert(0, G)
    returns = torch.tensor(returns)
    # 对回报进行标准化，使训练更稳定
    returns = (returns - returns.mean()) / (returns.std() + 1e-9)
 
    return log_probs, returns
 
# ==================== 4. 训练主循环 ====================
# 创建环境 (训练时不渲染，速度更快)
env = gym.make("CartPole-v1")        # 使用CartPole-v1，步数上限为500
 
policy = PolicyNet()                  # 初始化策略网络
optimizer = optim.Adam(policy.parameters(), lr=0.01)  # 使用Adam优化器
 
for episode in range(500):
    # 收集一局游戏的数据
    log_probs, returns = collect_trajectory(env, policy)
 
    # 计算损失函数: L = - Σ (Gt * log π)
    loss = -torch.cat([lp * G for lp, G in zip(log_probs, returns)]).sum()
 
    # 反向传播，更新网络参数
    optimizer.zero_grad()
    loss.backward()
    optimizer.step()
 
    # 每50个回合打印一次训练进度
    if (episode + 1) % 50 == 0:
        print(f"回合 {episode+1}, 平均回报 = {returns.mean().item():.2f}")
 
# ==================== 5. 测试训练好的策略 ====================
# 创建用于测试的环境，并开启渲染模式
test_env = gym.make("CartPole-v1", render_mode="human")
state, _ = test_env.reset()
done = False
total_reward = 0
 
while not done:
    # 测试时直接选择概率最大的动作，不进行采样
    with torch.no_grad():
        probs = policy(torch.FloatTensor(state).unsqueeze(0))
        action = torch.argmax(probs).item()
    state, reward, terminated, truncated, _ = test_env.step(action)
    done = terminated or truncated
    total_reward += reward
 
print(f"测试得分: {total_reward}")
test_env.close()

运行这段代码，你会看到AI的得分从十几分逐渐上升到200分（满分）。
它自己学会了“杆子往左歪就往左推，往右歪就往右推”的平衡技巧——没有人教过它物理公式。

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11 总结：一张表记住所有核心概念

概念	通俗解释	数学符号
智能体	做决策的家伙（小推车）	Agent
环境	外部世界（倒立摆游戏）	Environment
状态	当前局势（位置、速度等）	ss
动作	能做的事（左/右）	aa
奖励	做得好不好（+1或0）	rr
策略	决策规则（状态→动作的概率）	( \pi(a	s) )
轨迹	一局游戏的完整记录	ττ
回报	打折后的总收益	GtGt
价值函数	某个状态的好坏程度	Vπ(s)Vπ(s)
贝尔曼方程	价值函数的自洽关系	V(s)=E[R+γV(s′)]V(s)=E[R+γV(s′)]
马尔可夫性质	未来只取决于现在	( P(s'	s,a) )
探索 vs 利用	贪眼前 vs 冒险试新	—

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12 下一步学什么？进阶路线图

如果你已经完全掌握了本文的内容，恭喜你，你已经入门强化学习了！
接下来可以按以下顺序深入学习：

1. Q-learning 和 DQN

2. 适合离散动作空间（如倒立摆、Atari游戏）。

3. DeepMind 打砖块、吃豆人的算法。

4. PPO（近端策略优化）

5. 目前工业界最常用的算法。

6. OpenAI 的 Dota2 AI、ChatGPT 的 RLHF 都在使用。

7. SAC（柔性演员-评论家）

8. 适合连续动作控制（如机器人关节、自动驾驶方向盘）。

9. 多智能体强化学习

10. 多个智能体同时学习（如足球机器人、自动驾驶车流）。

无论学习哪个方向，都离不开本文讲的基础：策略、价值函数、贝尔曼方程、探索与利用。

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写在最后

强化学习是AI领域中最接近人类“试错学习”方式的分支。
它不需要人类手把手标注数据，只需要告诉AI“什么是对，什么是错”，然后让它自己去摔跟头、爬起来。
最终，它能学会我们教不了的东西——就像倒立摆的AI，从未学过牛顿力学，却自己摸索出了平衡的秘诀。

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