39. 组合总和

给你一个 无重复元素 的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的 所有 **不同组合 ，并以列表形式返回。你可以按 任意顺序 返回这些组合。

candidates 中的 同一个 数字可以 无限制重复被选取 。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。 

对于给定的输入，保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。

示例 1：

输入： candidates = [2,3,6,7], target = 7
输出： [[2,2,3],[7]]
解释：
2 和 3 可以形成一组候选，2 + 2 + 3 = 7 。注意 2 可以使用多次。
7 也是一个候选， 7 = 7 。
仅有这两种组合。

示例 2：

输入: candidates = [2,3,5], target = 8
输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]

示例 3：

输入: candidates = [2], target = 1
输出: []

提示：

• 1 <= candidates.length <= 30
• 2 <= candidates[i] <= 40
• candidates 的所有元素 互不相同
• 1 <= target <= 40

1. 生活案例：自助找零机

想象你正在一台自助找零机前，你需要凑齐 7块钱（target）。

• 你的钱包（candidates） ：里面有无尽的 2块、3块、6块 和 7块 面值的硬币。

• 规则：

  1. 你可以重复拿同一种硬币（比如拿三次 2 块）。
  2. 你需要列出所有能刚好凑成 7 块的组合。

• 过程：

  1. 你先拿一个 2块，还差 5 块；再拿一个 2块，还差 3 块；再拿一个 2块，还差 1 块。
  2. 剩下的硬币里最小也是 2 块，拿了就超标了（8块）。
  3. 于是你退回一步（回溯），不拿第三个 2 块了，试着换成一个 3块。
  4. 刚好凑成 $2+2+3=7$！记录下来。
  5. 你继续退回，尝试其他的组合，直到所有可能性都试遍。

---

2. 代码实现与详细注释

这是你图片中的代码，我为你加上了结合“找零”逻辑的详细中文注释：

JavaScript

/**
 * @param {number[]} candidates - 可选的硬币面值
 * @param {number} target - 目标金额
 * @return {number[][]}
 */
var combinationSum = function(candidates, target) {
    let res = [];
    
    // 【优化点】：先从小到大排序，这样如果加了一个数已经超了，后面的数就不用看了
    candidates.sort((a, b) => a - b);

    /**
     * @param {number} start - 从哪种面值的硬币开始选（防止重复组合，如 [2,3] 和 [3,2]）
     * @param {number[]} path - 已经放进兜里的硬币组合
     * @param {number} sum - 兜里硬币的总面值
     */
    let dfs = (start, path, sum) => {
        // 【成功出口】：刚好凑齐
        if (sum === target) {
            res.push([...path]); // 记录方案
            return;
        }

        // 尝试从当前的 start 位置开始选硬币
        for (let i = start; i < candidates.length; i++) {
            // 【剪枝优化】：如果当前的钱加上这枚硬币已经超了，后面的硬币更大，直接放弃
            if (sum + candidates[i] > target) break;

            // 1. 【做选择】：把这枚硬币放进兜里
            path.push(candidates[i]);

            // 2. 【递归】：继续选下一枚。
            // 注意：这里传的是 i 而不是 i + 1，表示【可以重复使用】当前这枚硬币
            dfs(i, path, sum + candidates[i]);

            // 3. 【回溯】：把最后放进去的硬币拿出来，尝试换别的
            path.pop();
        }
    }

    dfs(0, [], 0); // 从第 0 种硬币、空兜、总和 0 开始
    return res;
};

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3. 核心原理解析

为什么递归传的是 i 而不是 i + 1？

这是本题的关键！

• 如果传 i + 1：代表每种硬币只能用一次（LeetCode 第 40 题）。
• 传 i：代表你在选完这枚硬币后，下一轮还可以选这枚硬币，从而实现了“无限重复选取”。

为什么要先 sort 排序？

如果不排序，你必须把整个树走完才能知道超没超标。

排序后，一旦发现 sum + candidates[i] > target，根据从小到大的特性，i 之后的所有硬币肯定也都会超标。这时候直接 break 循环（这就是所谓的剪枝），能极大地节省计算时间。

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(S)$，其中 $S$ 是所有可行解的长度之和。回溯算法的时间复杂度通常较高，但剪枝能显著提升表现。
• 空间复杂度：$O(target)$。主要是递归的栈深度。

总结

这道题是理解回溯中“去重”和“重复利用”逻辑的最好教材。只要记住：为了不选重复的组合，我们不走回头路（通过 start 控制）；为了能重复拿，我们允许原地踏步（通过 dfs(i, ...) 控制）。