【中等】322. 零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入： coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出： 3 
解释： 11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入： coins = [2], amount = 3
输出： -1

示例 3：

输入： coins = [1], amount = 0
输出： 0

提示：

• 1 <= coins.length <= 12
• 1 <= coins[i] <= 231 - 1
• 0 <= amount <= 104

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1. 生活案例：超市收银员的职业病

想象你是一个超市收银员。现在有一个顾客要买 $11$ 块钱的东西，他给了你一张大票，你需要找给他 $11$ 元零钱。

• 你的任务：用手里现有的硬币（比如 $1$ 元、$2$ 元、$5$ 元）凑够 $11$ 元，但老板要求你尽量少给硬币（为了省硬币）。

• 你的策略：

  • 当你需要凑 $11$ 元时，你会想：

    • 如果我最后给出一枚 $5$ 元，那我只需要知道“凑够 $6$ 元最少要几枚硬币”；
    • 如果我最后给出一枚 $2$ 元，那我只需要知道“凑够 $9$ 元最少要几枚硬币”；
    • 如果我最后给出一枚 $1$ 元，那我只需要知道“凑够 $10$ 元最少要几枚硬币”。

  • 你对比这三种方案，哪种用的总个数最少，你就选哪种。

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2. 代码解析与“生活化”注释

这段代码展示了如何通过从小金额开始计算，一步步推导出大金额的最优解。

JavaScript

/**
 * @param {number[]} coins - 你兜里有的硬币面值，比如 [1, 2, 5]
 * @param {number} amount - 目标找零金额，比如 11
 * @return {number} - 最少硬币个数
 */
var coinChange = function (coins, amount) {
    // dp[i] 代表：凑齐金额 i 所需的最少硬币个数
    // 初始值填 amount + 1（一个不可能达到的大数），就像是给每个金额先标个“暂无方案”
    let dp = new Array(amount + 1).fill(amount + 1);

    // 基础情况：凑够 0 元只需要 0 枚硬币
    dp[0] = 0;

    // i 代表当前我们要计算的“目标找零金额”，从 1 元一直算到目标 amount 元
    for (let i = 1; i <= amount; i++) {
        // 对于每一个金额 i，尝试每一枚可用的硬币
        for (let coin of coins) {
            // 如果当前金额 i 比硬币面值大，说明这枚硬币“用得掉”
            if (i >= coin) {
                // 生活化解释：
                // 我尝试用掉这枚面值为 coin 的硬币
                // 那么总个数 = 凑齐 (i - coin) 元的最少个数 + 1 (当前这枚)
                // 我们拿这个结果跟之前记录的最佳方案 dp[i] 比，取更小的那个
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
            }
        }
    }

    // 如果最后 dp[amount] 还是那个大数，说明这钱根本凑不出来（比如只有2元硬币却要凑3元）
    // 凑得出来就返回结果，凑不出来返回 -1
    return (dp[amount] > amount) ? -1 : dp[amount];
};

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3. 为什么代码这样写？（核心思维）

1. 自底向上 (Bottom-Up) ：我们不是直接去算 $11$ 元，而是先把 $1$ 元、$2$ 元、$3$ 元... 最少怎么凑都算出来存在 dp 数组里。

2. 最优子结构：

   • 凑齐 $11$ 元的最优解，一定是从凑齐 $10$ 元、$9$ 元或 $6$ 元的最优解转移过来的。

   • 公式：

     $dp[i] = \min(dp[i - coin] + 1)$

3. 防止走弯路：dp 数组就像你的记事本。当你算 $11$ 元需要用到 $6$ 元的结果时，直接翻本子（看 dp[6]），不需要重新计算。

总结

这道题的核心就在于**“查表”**。每个金额都遍历所有硬币面值，看看“从哪个面值跳过来步数最短”。