【中等】287. 寻找重复数给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums ，其数字都在 [1, n] 范围内（包括

给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums ，其数字都在 [1, n] 范围内（包括 1 和 n），可知至少存在一个重复的整数。

假设 nums 只有 一个重复的整数 ，返回 这个重复的数 。

你设计的解决方案必须 不修改 数组 nums 且只用常量级 O(1) 的额外空间。

示例 1：

输入： nums = [1,3,4,2,2]
输出： 2

示例 2：

输入： nums = [3,1,3,4,2]
输出： 3

示例 3 :

输入： nums = [3,3,3,3,3]
输出： 3

提示：

1 <= n <= 105
nums.length == n + 1
1 <= nums[i] <= n
nums 中 只有一个整数 出现 两次或多次 ，其余整数均只出现一次

进阶：

如何证明 nums 中至少存在一个重复的数字?
你可以设计一个线性级时间复杂度 O(n) 的解决方案吗？

1. 核心矛盾：带着镣铐起舞

这道题最狠的地方在于它的限制条件：

不能修改数组（不能排序，不能原地打标记）。
只能用 $O(1)$ 额外空间（不能用哈希表/Set）。
时间复杂度要快（通常指 $O(n)$ ）。

2. 生活案例：迷宫里的“死循环”

想象你在玩一个**“盲盒迷宫”**游戏：

迷宫里有很多房间，每个房间都有一个编号。
每个房间中心都有一张纸条，上面写着下一个房间的编号。
规则是： 按照纸条上的数字走。

为什么会有重复数字？

如果两个不同的房间里，纸条上写了同一个编号（重复数字），这意味着有两条路通向同一个房间。一旦你进入这个结构，你就会陷入一个圆形死循环，永远走不出来。而那个循环的入口，就是我们要找的重复数字。

3. 代码实现与注释（JavaScript）

你可以直接把这段带详尽注释的代码贴进笔记里：

JavaScript

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var findDuplicate = function(nums) {
    // --- 第一阶段：寻找相遇点（确定迷宫里有环） ---
    // 我们派两名选手：slow（乌龟，每次走一步）和 fast（兔子，每次走两步）
    let slow = nums[0];
    let fast = nums[nums[0]];

    // 只要有重复数字，兔子最终一定会在环里追上乌龟（相遇）
    while (slow !== fast) {
        slow = nums[slow];             // 乌龟走一步
        fast = nums[nums[fast]];       // 兔子跑两步
    }

    // --- 第二阶段：寻找环入口（抓到那个重复的数） ---
    // 此时两人相遇了。根据数学推导：
    // 从“迷宫起点”到“环入口”的距离，正好等于从“当前相遇点”绕环回到“环入口”的距离。
    
    // 我们让🐢回到起点（坐标 0），并🐰降速变得和乌龟一样慢（每次走一步）
    slow = 0; 
    while (slow !== fast) {
        // 两人以同样的速度前进
        slow = nums[slow];
        fast = nums[fast];
    }

    // 当他们再次相遇时，所在的房间编号就是环的入口，也就是那个重复的数字！
    return slow;
};

4. 深度解析：为什么这样能成功？

在掘金分享时，建议加上这几点深度思考，会显得内容很有厚度：

抽象转化： 题目把数字范围限制在 $[1, n]$ ，而数组长度是 $n+1$ 。这意味着我们可以把 nums[i] 看作是一个指向下标 i 的指针。
数学逻辑： 假设起点到环入口距离为 $a$ ，入口到相遇点距离为 $b$ ，环长度为 $L$ 。
- $2 \times \text{乌龟路程} = \text{兔子路程}$
- $2(a + b) = a + b + kL$
- 推导出 $a = kL - b$ ，这意味着从起点出发走 $a$ 步，和从相遇点出发走 $a$ 步，最终都会停在环入口。
复杂度优势： 时间复杂度 $O(n)$ ，空间复杂度 $O(1)$ ，完美契合题目严苛的要求。