【中等】279. 完全平方数

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入： n = 12
输出： 3 
解释： 12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入： n = 13
输出： 2
解释： 13 = 4 + 9

提示：

• 1 <= n <= 104

1. 生活案例：装修铺地砖

想象你正在装修一个面积为 $n$ 的长条形房间。装修市场比较奇怪，他们只卖“正方形地砖”，且边长必须是整数。

• 可选的地砖：面积分别为 $1 \times 1=1$，$2 \times 2=4$，$3 \times 3=9$，$4 \times 4=16 \dots$（这些就是完全平方数）。

• 你的任务：用最少数量的地砖，刚好把面积为 $n$ 的地面铺满。

• 策略：

  • 为了铺满面积为 $12$ 的地面：

    • 方案 A：全用 $1 \times 1$ 的，需要 $12$ 块。
    • 方案 B：用 $2 \times 2$ 的（面积为 4），$12 = 4 + 4 + 4$，需要 3 块。
    • 对比发现方案 B 更省砖！

2. 代码解析与“生活化”注释

这段代码通过不断尝试“最后一块砖用多大”，来反推最少数量。

JavaScript

/**
 * @param {number} n - 房间的总面积
 * @return {number} - 最少需要的地砖数量
 */
var numSquares = function(n) {
    // dp[i] 代表：铺满面积为 i 的房间，最少需要多少块地砖
    // 初始值给 n（全铺 1x1 地砖的情况），这已经是最大可能的数量了
    let dp = new Array(n + 1).fill(n);

    // 基础情况：面积为 0 时，需要 0 块地砖
    dp[0] = 0;
    // 面积为 1 时，只能用 1x1 的，需要 1 块
    dp[1] = 1;

    // i 代表当前我们要计算的“目标面积”，从 1 逐渐算到 n
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        // j 代表地砖的边长，j*j 就是地砖的面积（1, 4, 9, 16...）
        // 我们尝试所有“面积不大于剩余空间”的正方形砖
        for (let j = 1; j * j <= i; j++) {
            // 生活化解释：
            // 我尝试拿出一块面积为 j*j 的正方形砖
            // 那么总砖数 = 铺满剩下面积 (i - j*j) 的最少砖数 + 1 (当前这一块)
            // 我们在各种可能的 j 中，选一个能让 dp[i] 最小的
            dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
        }
    }

    // 返回铺满面积 n 的最少砖数
    return dp[n];
};

3. 为什么代码这样写？（算法关联）

1. 它就是零钱兑换：

   • 在“零钱兑换”里，硬币是 coins = [1, 2, 5]。

   • 在这里，硬币是 coins = [1, 4, 9, 16, ...]。

   • 逻辑完全一致：

     $dp[i] = \min(dp[i - \text{square}] + 1)$

2. 内层循环的边界：j * j <= i。这很聪明，因为你不可能用一块面积比房间还大的地砖。

3. 计算顺序：先算小房间（面积 1, 2, 3...），因为算大房间（面积 12）时，需要用到小房间（比如面积 8）的结果。