平面波下阵列信号模拟及波束形成本文介绍平面波阵列信号模拟方法，通过整数时延（循环移位）与小数时延（一阶线性插值）实现信号

平面波阵列信号模拟与波束形成

1. 问题背景

阵列信号处理的核心任务：多个传感器按一定几何位置摆放，通过时延对齐实现信号同相叠加，从而增强特定方向的信号、抑制其他方向的干扰。

平面波假设：当信号源距离阵列足够远时，波前可视为平面，各阵元接收的信号仅存在时延差异，波形本身不变。

2. 阵列模型

2.1 几何关系

        来波方向 θ
           ↘
            ↘    平面波前
    ─────────────⊥────────────→
    │      │      │      │
   [0]    [d]   [2d]   [3d]    ← 阵元位置
    x1     x2     x3     x4

阵元间距： $d$
来波方向： $\theta$ （相对于阵列法线，0°为垂直入射）
第 $n$ 个阵元相对于参考阵元的波程差： $\Delta L_n = (n-1)d \cdot \sin\theta$

2.2 时延计算

波程差转换为时间延迟： $\tau_n = \frac{(n-1)d \cdot \sin\theta}{c}$

其中 $c$ 为波速（空气中约343 m/s，水中约1500 m/s）。

3. 时延实现：整数 + 小数分离

实际处理的是离散采样信号，时延需要分解为整数部分和小数部分分别处理。

3.1 整数时延：循环移位

将信号向量整体平移整数个采样点：

x_delayed = circshift(x, delay_integer);

delay_integer > 0：向后移位（延迟）
delay_integer < 0：向前移位（超前）

3.2 小数时延：一阶线性插值

小数时延无法直接移位，采用相邻两采样点加权近似：

$x(t - \alpha) \approx (1-\alpha) \cdot x(t) + \alpha \cdot x(t-1), \quad 0 < \alpha < 1$

权重分配逻辑：

$\alpha$ 越接近0：当前采样点权重越大 $(1-\alpha)$
$\alpha$ 越接近1：前一个采样点权重越大 $(\alpha)$

4. 波束形成流程

原始阵列信号 → 估计来波方向 → 计算各阵元时延 
                                    ↓
                              整数时延(circshift)
                                    ↓
                              小数时延(线性插值)
                                    ↓
                              各阵元信号时延对齐
                                    ↓
                              同相叠加(求和)
                                    ↓
                              输出增强信号

5. 关键代码结构

5.1 时延计算模块

% 时延转换为采样点数
delay_samples = ((0:N-1)*d * sin(theta)/c) * fs;

% 分离整数和小数
delay_int = round(delay_samples);
delay_frac = delay_samples - delay_int;  % 范围: [-0.5, 0.5]

5.2 整数时延处理

x_int = circshift(x, delay_int(n));

5.3 小数时延处理（一阶权重）

if delay_frac(n) > 0
    % 向后插值：混合当前点与前一点
    x_shifted = circshift(x_int, 1);
    x_out = (1-frac)*x_int + frac*x_shifted;
else
    % 向前插值：混合当前点与后一点  
    x_shifted = circshift(x_int, -1);
    x_out = (1-abs(frac))*x_int + abs(frac)*x_shifted;
end

6. 验证思路

6.1 信号对齐验证

输入：各阵元存在明显相位差的正弦信号
输出：经正确方向时延对齐后，各通道波形应完全重合

6.2 方向扫描验证

固定信号来波方向（如30°）
遍历-90°~90°扫描，对每个方向做时延对齐+求和
结果应在真实方向出现峰值，其他方向衰减

7. 代码与结果

7.1 完整代码

function delayed_signal = array_delay_beamforming(received_signal, doa, d, fs, c)

% ARRAY_DELAY_BEAMFORMING 对阵列接收信号进行时延波束形成

%

% 输入:

% received_signal - 阵列接收信号矩阵 [N_samples x N_elements]

% doa - 来波方向 (角度，单位度，相对于阵列法线方向)

% d - 阵元间距 (米)

% fs - 采样率 (Hz)

% c - 波速 (m/s，空气中约343m/s，水中约1500m/s)

%

% 输出:

% delayed_signal - 时延对齐后的信号 [N_samples x N_elements]

[N_samples, N_elements] = size(received_signal);

% 计算各阵元相对于参考阵元(第一个阵元)的时延

% 阵元位置: x = [0, d, 2d, ..., (N-1)d]

element_positions = -(0:N_elements-1) * d;

% 来波方向转换为弧度，并计算波程差引起的时延

% doa=0表示垂直入射(法线方向)，doa=90表示端射方向

theta = doa * pi / 180;

% 时延: tau = (x * sin(theta)) / c

% 正值表示相对于参考阵元的延迟时间

delays = (element_positions * sin(theta)) / c;

% 转换为采样点数

delay_samples = delays * fs;

% 分离整数时延和小数时延

delay_integer = floor(delay_samples); % 整数时延

delay_fraction = delay_samples - delay_integer; % 小数时延 (-0.5 ~ 0.5)

% 初始化输出

delayed_signal = zeros(N_samples, N_elements);

for n = 1:N_elements

% 获取当前阵元信号

x = received_signal(:, n);

% ========== 步骤1: 整数时延 (直接循环偏移) ==========

x_int_delayed = circshift(x, delay_integer(n));

% ========== 步骤2: 小数时延 (一阶权重/线性插值) ==========

% 一阶近似: x(t - tau_frac) ≈ (1-tau_frac)*x(t) + tau_frac*x(t-1)

% 或者使用前后两个采样点加权

frac = delay_fraction(n);

if frac == 0

% 无小数时延

delayed_signal(:, n) = x_int_delayed;

else

% 一阶线性插值: 加权相邻两个采样点

% x_delayed[n] = (1-frac) * x_int[n] + frac * x_int[n-1]

% 注意: frac>0表示需要向后插值(延迟)，frac<0表示向前插值(超前)

% 创建偏移一个采样的版本

x_shifted = circshift(x_int_delayed, sign(frac));

% 一阶权重相加

% |frac| 越接近0，当前采样点权重越大

% |frac| 越接近1，相邻采样点权重越大

weight_current = 1 - abs(frac);

weight_adjacent = abs(frac);

% 正小数时延: 向"过去"插值 (延迟)

% x(t-frac) ≈ (1-frac)*x(t) + frac*x(t-1)

delayed_signal(:, n) = weight_current * x_int_delayed + ...

weight_adjacent * x_shifted;

end

end

fprintf('来波方向: %.1f°\n', doa);

fprintf('阵元时延(采样点): ');

fprintf('%.3f ', delay_samples);

fprintf('\n');

end

%% ============ 使用示例 ============

clear; clc; close all;

% 参数设置

fs = 10000; % 采样率 10kHz

c = 343; % 声速 (空气中)

d = 0.05; % 阵元间距 5cm (半波长条件: d <= c/(2*f_max))

N_elements = 8; % 阵元数

N_samples = 512; % 采样点数

% 信号参数

f0 = 1000; % 信号频率 1kHz

doa_true = 30; % 真实来波方向 30度

SNR = 20; % 信噪比 dB

% 生成阵列信号

t = (0:N_samples-1)' / fs;

s = sin(2*pi*f0*t); % 原始信号

% 生成各阵元接收信号 (加入方向时延和噪声)

received_signal = zeros(N_samples, N_elements);

for n = 1:N_elements

% 计算该阵元的真实时延

tau_n = ((n-1)*d * sin(doa_true*pi/180)) / c;

delay_sample = tau_n * fs;

delay_int = round(delay_sample);

delay_frac = delay_sample - delay_int;

% 整数时延

s_delayed = circshift(s, delay_int);

% 小数时延 (一阶近似)

if delay_frac ~= 0

s_shifted = circshift(s_delayed, sign(delay_frac));

s_delayed = (1-abs(delay_frac))*s_delayed + abs(delay_frac)*s_shifted;

end

% 加噪声

noise = randn(N_samples, 1) / sqrt(10^(SNR/10));

received_signal(:, n) = s_delayed + noise;

end

% 测试不同来波方向的波束形成

doa_scan = -90:1:90; % 扫描角度

beam_output = zeros(length(doa_scan), 1);

for i = 1:length(doa_scan)

% 时延对齐

aligned_signal = array_delay_beamforming(received_signal, doa_scan(i), d, fs, c);

% 简单求和波束形成

beam_output(i) = mean(abs(sum(aligned_signal, 2)));

end

aligned_true = array_delay_beamforming(received_signal, doa_true, d, fs, c);

received_signal_plot = received_signal./max(received_signal, [], "all")/2 + (1:N_elements);

aligned_true_plot = aligned_true./max(aligned_true, [], "all")/2 + (1:N_elements);

% 绘图

figure('Position', [100 100 1200 400]);

% 原始阵列信号

subplot(1,3,1);

plot(received_signal_plot);

title('原始阵列信号 (未对齐)');

xlabel('阵元编号');

ylabel('时间采样');

% 时延对齐后的信号 (真实方向)

subplot(1,3,2);

plot(aligned_true_plot);

title(sprintf('时延对齐后 (DOA=%d°)', doa_true));

xlabel('阵元编号');

ylabel('时间采样');

% 波束形成方向图

subplot(1,3,3);

plot(doa_scan, 20*log10(beam_output/max(beam_output)), 'LineWidth', 2);

hold on;

xline(doa_true, 'r--', 'LineWidth', 1.5, 'Label', '真实方向');

xlabel('来波方向 (度)');

ylabel('归一化功率 (dB)');

title('波束形成方向图');

grid on;

xlim([-90 90]);

fprintf('\n真实来波方向: %d°\n', doa_true);

[~, max_idx] = max(beam_output);

fprintf('估计来波方向: %d°\n', doa_scan(max_idx));

7.2 运行结果

波束形成方向图

8. 常见问题

问题	原因	解决
对齐后仍有残余相位差	小数时延精度不足	改用更高阶插值（sinc/FIR）
方向图旁瓣过高	阵元数太少或间距过大	增加阵元数，控制 $d \leq \lambda/2$
峰值方向偏移	时延计算误差累积	检查角度转弧度、采样率单位

9. 扩展方向

高阶小数时延：使用sinc插值或FIR分数延迟滤波器，提高精度
自适应波束形成：根据干扰环境自动调整权重（MVDR/LCMV）
宽带信号：不同频率时延不同，需频域处理或抽头延迟线