基础算法--二叉树

二叉树

二叉树是也是一种经典的数据结构，在算法题目中，二叉树的题目多是基于递归的。

先给大家介绍几个关于二叉树的小结论；

• 一共有n个节点的二叉树，如果度为0的节点为x个，那么度为2的节点有x-1个
• 有一个先序遍历序列：1 2 3 4，一共有$\frac{C_{2n} ^n}{n+1}$（n=4）颗二叉树满足（卡特兰数）
• 先序+中序，确定一颗二叉树

我们来看一道例题；

分析： 我们考虑一下一棵树什么时候是镜像对称的，其实就是左子树和右子树镜像对称。 那么该怎么用代码进行判断呢？ 可以用两个指针p，q对称地递归遍历树，进行比较即可。

1. 初始化：p=root->l，q=root->r
2. 递归出口：p，q都为空，return 0
3. 递归条件：p == q，p->l == q->r，p->r == q->l 特殊情况：空树也满足条件

下面是代码示例：

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    bool check(TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if(p == nullptr && q == nullptr){
            return 1;
        }
        if(!p || !q){
            return 0;
        }

        return (p->val == q->val) && check(p->left, q->right) && check(p->right, q->left);
    }

    bool checkSymmetricTree(TreeNode* root) {
        if(root == nullptr){
            return 1;
        }
        else{
            return check(root->left, root->right);
        }
    }
};

再来看一道题目：

分析： 我们找两个节点的最近公共祖先，一定和这两个节点的位置关系有关

• 如果p，q分别出现在root的左右子树中，则root是答案
• 如果p，q同时出现在root的某一个子树x中，则问题转换为在x树中找公共祖先（递归） 递归函数（root, p, q）：在以root为根的树中找p，q

1. root == NULL，空树，返回NULL
2. root == p或者root == q，找到了一个，直接返回root。若另一个在root的子树中，root是答案。若不在，则返回找到的这个节点
3. root不为空，也不是p，q，说明p，q在root的左右子树中，则递归调用，分别去左右子树中找。 l = f(root->left, p, q) r = f(root->right, p, q) (1)若l，r全为空，返回空 (2)若l，r有一个为空，返回另一个。说明在另一个子树中找到了p，q或者答案 (3)若l，r都不为空，说明p，q一边一个，则root是答案，返回root

下面是代码演示：

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if(root == NULL){
            return NULL;
        }
        if(root == p || root == q){
            return root;
        }

        TreeNode* l = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        TreeNode* r = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        if(l == NULL){
            return r;
        }
        if(r == NULL){
            return l;
        }
        if(l && r){
            return root;
        }
        return NULL;
    }
};