为什么要学？
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起初刷算法一直沉溺于贪心和暴力解的我，仿佛找到了“舒适区”。
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直到遇到了
零钱兑换、打家劫舍、最长递增子序列这些题目。 -
开始发现常规解法力不从心了，就算逻辑正确，但会出现：
低效通过：
或者是：
为了解决这些尴尬的场景，产生了优化算法的意识，接触到了动态规划
是什么？
动态规划（Dynamic Programming，简称 DP），解决问题的核心思想是把全局的问题聚焦到局部的实现上，避免重复计算，通过复用已计算的子问题结果，最终高效得到全局解。
五步走
// 示例：求斐波那契数列的第 i 项
const dp = [0, 1, 1, 2, 3, 5, .... dp[i] ];
- 写出状态定义：dp[i] 代表什么
dp 数组在第 i 项时所要表达的什么状态。
- 写状态转移式：当前状态怎么由更小状态推出来
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
- 初始值：最小子问题
base case类似于数学归纳法，初始化第 0 项和第 1 项。
- 确定遍历方向（正序/倒序）：保证用到的子问题先算好。
- 代入小样例手推一遍（防止转移错）。
例题实践：零钱兑换（322）
题目：给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。你可以认为每种硬币的数量是无限的。
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11 输出：3；（11 = 5 + 5 +1）
步骤：
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状态定义：确定 dp 数组 和
dp[i]dp[i]表示凑出金额 i 所需的最少硬币数（能否兑换出来不确定），i 则是当前兑换的 amount，一直到 11。- 定义dp数组：
[Infinity, Infinity ... Infinity]，长度为 12（因为要取到第 11 项目）一开始我们还不知道大多数金额能不能凑出来，所以先把它们标记成“当前不可达”。
Infinity就是最合适的“不可达哨兵值”
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状态转移：
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思考：求兑换出 11 的最少硬币组合，会和前面局部 amount （10、9 ... 1、0）存在某种联系？
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dp[11]的结果可以是11 - 1 = dp[10] + 111 - 2 = dp[9] + 111 - 5 = dp[6] + 1 -
可得：
for (let j = 0; j < coins.length; j++) { if (i >= coins[j]) { dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1); } }挨个减去硬币面额，取最小的为最终值。
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初始化边界：i = 0 时：可兑换的组合为 0；
dp[0] = 0 -
确定循环：
从 i = 1 开始，遍历 dp 数组；确定 dp[i] 的值，正序需要 11 次；
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验证：
- i = 1 时：
内层 j = 1：
dp[1] = Math.min(dp[1], dp[1 - 1] + 1) = Math.min(Infinity, 1) = 1;结束内层循环：dp[1] = 1 - i = 2 时：
内层 j = 1：
dp[2] = Math.min(dp[2], dp[2 - 1] + 1) = Math.min(Infinity, 2) = 2;内层 j = 2：dp[2] = Math.min(dp[2], dp[2 - 2] + 1) = Math.min(2, 1) = 1;结束内层循环：dp[2] = 1
- i = 1 时：
示例代码：
function coinChange(coins, amount) {
const dp = new Array(amount + 1).fill(Infinity);
dp[0] = 0;
for (let i = 1; i < dp.length; i++) {
for (let j = 0; j < coins.length; j++) {
if (i >= coins[j]) {
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
}
}
}
return dp[amount] === Infinity ? -1 : dp[amount]; // 兑换失败的则是 Infinity 返回 -1 即可
}
- 时间复杂度：
O(amount * coins.length)- 空间复杂度：
O(amount)
总结：动态规划的关键始终是这两步：先“拆问题”（定义状态）、再“找关系”（写转移）。说是 “套模板” 也不为过。
