计算机中的曲线

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与数学书里曲线的不同

计算机处理曲线可以分为两部分：如何计算曲线和如何画曲线。

在计算领域，计算机中的曲线和我们在数学书上学习的曲线基本相同。

但是在画曲线方面，由于gpu只能画点、直线、三角面等基础图形，不能直接画曲线，所以在画曲线物体的时候，只能先把连续的曲线转换成gpu能识别的图形才能顺利画出来。

曲线的表示方法

笛卡尔表示法

这就是我们数学书里最常见的表示方法，大多是用y和x的关系式来表示，比如y=x²、y=sinx。它的特点是直观，能直接看出x和y的对应关系，但在计算机处理复杂曲线时，有时会不够灵活。

参数表示法

引入一个独立的参数（一般是t），让x和y都变成这个参数的函数，比如x=f(t)、y=g(t)。这种方法更适合计算机计算，能轻松画出一些复杂曲线，比如贝塞尔曲线，还能方便控制曲线的范围。

曲线的方向

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切线、法线、斜率、导数

• 切线：正好和曲线走向相切的直线。
• 法线：和切线垂直的直线。
• 斜率：切线和水平方向的夹角的正切值。
• 导数：数学上求导的结果，就是曲线上某一点的斜率。

它们之间的关系

:::tips 求导数 = 求斜率 -> 求切线 -> 求法线。

:::

假设曲线是$y=f(x)$

则其任意点$(x_0,y_0)$导数为$y=f'(x)=f'(x_0)$

所以其任意点$(x_0,y_0)$斜率为$k=f'(x)=f'(x_0)$

所以其任意点$(x_0,y_0)$切线公式为$y = k(x-x_0)+y_0$

所以其任意点$(x_0,y_0)$法线公式为$y = -\frac{1}{k}(x-x_0)+y_0$

切向量与法向量

曲线上任意点的切向量为$\vec{t} = (1,k)$

曲线上任意点的法向量为$\vec{n} = (k, -1)$

参数方程曲线求导

假设曲线参数方程为：$\boxed{\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}}$

则其一阶导数为：$\boxed{\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y'(t)}{x'(t)} (x'(t) \neq 0)}$

则其二阶导数为：$\boxed{\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{y''(t)x'(t)-y'(t)x''(t)}{\left[x'(t)\right]^3} (x'(t) \neq 0)}$

曲率：曲线弯曲程度的度量

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:::info $\kappa = \frac{y''}{\left(1+y'^2\right)^{\frac{3}{2}}}$

:::

• $|\kappa|$越大代表曲线越弯曲，$|\kappa|$越小代表曲线越平缓。
• 半径为r的圆的曲率公式：$|\kappa| = \frac{1}{r}$

曲线的平滑程度：$C^n连续$

我们一般用$C^n连续$来度量曲线的平滑程度。

我们常见的多项式曲线、样条曲线等，本身都是无限光滑的，所以我们一般用$C^n$来度量两段曲线连接处的光滑程度。

$C^0连续$：曲线连接处无断开，但**存在明显尖角/折点**。

$C^1连续$：等价于连接处**切线连续**、曲线一阶导数连续、速度连续。

$C^2连续$：等价于连接处曲率连续、曲线二阶导数连续、加速度连续。

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曲线的离散化

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由于gpu无法直接绘制曲线，所以最常见的做法是把连续的曲线，转换成很多小三角形让gpu去绘制，而为了转换成三角形，就需要在曲线上每隔一段距离取一个点，这个过程叫做曲线的离散化。

一般有以下细分策略：

• 按参数均匀分段：如果曲线是用参数方程定义的，会有一个参数 t，可以把 t 从 0 到 1 按 0、0.1、0.2…… 这样均匀分段。优点是计算简单、实现方便；缺点是在参数 t 上均匀采样，在实际曲线上采样点的分布可能不均匀，尤其是在曲线弯曲比较急的地方，点会显得比较稀疏。
• 固定步长分段：例如沿着曲线每隔固定长度（比如 N 米）取一个点，优点是在曲线弯曲程度大的地方，采样点会自动变得更密集。
• 按误差限制分段：在用直线段近似曲线的过程中总会存在误差，我们可以设定一个最大允许误差阈值，算法会根据曲线的形状自动调整分段密度：平缓的地方分段更疏、每段更长，弯曲急的地方分段更密、每段更短，这样可以在保证精度的前提下减少点数、提高效率。