本文来源是 *KEITH DEVLIN: Introduction to Mathematical Thinking*
什么是数学？
尽管学校在数学教学上投入了大量时间，但却很少（如果有的话）向学生传达这门学科到底是什么。相反，教学重心被放在了学习和应用各种解决数学问题的程序（Procedures）上。这有点像通过“执行一系列动作把球踢进球门”来解释足球一样。这两者固然准确描述了各项关键特征，但却缺失了“是什么”以及大局观中的“为什么”。
考虑到课程大纲的要求，我能理解这种情况为何发生，但我认为这是一个错误。尤其在当今世界，对数学的本质、范围、力量和局限性有一个通识性的理解对任何公民都是有价值的。多年来，我遇到过许多工程、物理、计算机科学甚至数学专业的毕业生，他们告诉我，在度过了整个中学和大学教育后，却从未对现代数学的构成有一个良好的概览。直到步入社会后的某个时刻，他们才偶尔瞥见这门学科的真实面貌，并开始意识到它在现代生活中无处不在的作用。
1. 不仅仅是算术
当今科学和工程中使用的数学，大部分只有三四百年的历史，其中很多甚至不足一个世纪。然而，典型的高中课程包含的数学至少有三百年的历史——其中有些已经超过两千年了！
当然，教授如此古老的知识并没有错。俗话说，“如果没有坏，就不要去修它”。阿拉伯语世界的学者在八、九世纪开发的代数（Algebra 一词源于阿拉伯语 al-jabr），旨在提高商业交易效率；即便今天我们可能在电子表格宏中实现它，而不是通过中世纪的手算，它在今天依然像当时一样有用且重要。
但时代在变迁，社会在进步。在这个过程中，对新数学的需求不断产生，并随之得到满足。教育需要跟上步伐。
数学被认为始于大约一万年前数字和算术的发现，其目的是为了给世界提供“钱”。（没错，数学似乎起源于金钱！）在随后的几个世纪里，古埃及人和巴比伦人扩展了这一学科，将其纳入了几何学和三角学。在那些文明中，数学在很大程度上是功利性的，且非常具有“菜谱式”的特征。（“对一个数字或几何图形进行如此这般的操作，你就会得到答案。”）
从公元前500年到公元前300年是希腊数学的时代。古希腊数学家对几何学推崇备至。事实上，他们以几何的方式看待数字，将其视为长度的度量；当他们发现有些长度与数字无法对应时（即无理数长度的发现），他们的数字研究一度陷入停滞。
事实上，正是希腊人使数学成为一个研究领域，而不仅仅是测量、计数和记账技术的集合。大约在公元前500年，米利都的泰勒斯（Turkey) 引入了这样一个想法：数学中精确陈述的断言可以通过形式化的论证得到逻辑上的证明。这一创新标志着定理（Theorem）的诞生，而定理如今已是数学的基座。对于希腊人来说，这种方法在《几何原本》（Euclid’s Elements）的出版中达到了顶峰，据称该书是除《圣经》外历史上流传最广的书籍。
公元第一个千年的前半叶，印度发展出了现代位值制算术；随后在第二个千年的后半叶，穆斯林世界的商人和学者对其进行了扩展（包括代数）；这些思想在欧洲中世纪时期的传入，进一步推动了该学科的发展。
尽管数学自那时起持续发展且毫无停滞迹象，但大体上，学校数学仅由我上述列出的成就，加上 17 世纪的另外两项进展组成：微积分和概率论。过去三百年里的成果几乎没有进入课堂。然而，当今世界所使用的大多数数学，其实都是在过去两百年里发展出来的！
因此，任何对数学的看法仅局限于学校所教内容的人，都不大可能意识到数学研究是一项蓬勃发展的全球性活动，也难以接受数学渗透到了现代生活和社会几乎所有领域的这一事实。例如，他们可能不知道美国哪家机构雇佣了最多的数学博士。（答案几乎可以肯定是对冲基金或美国国家安全局 NSA，尽管具体数字是官方机密。大部分数学家在那里的工作是破译截获的加密信息——至少人们普遍这么认为，虽然该局对此守口如瓶。）
过去一百年左右发生的数学活动爆炸式增长是非常惊人的。在 20 世纪初，数学可以合理地被视为由大约 12 个独立的学科组成：算术、几何、微积分等。而今天，六十到七十个不同的类别才是一个合理的数字。一些学科，如代数或拓扑学，已经分裂成各种子领域；其他的，如复杂性理论（Complexity theory）或动力系统理论（Dynamical systems theory），则是全新的研究领域。
数学的剧烈增长导致 20 世纪 80 年代出现了一个全新的数学定义：数学是关于模式的科学（Science of patterns） 。根据这一描述，数学家识别并分析抽象模式——数字模式、形状模式、运动模式、行为模式、投票模式、随机事件重复模式等等。这些模式可以是现实的或想象的、视觉的或心理的、静态的或动态的、定性的或定量的、功利性的或娱乐性的。它们可以产生于我们周围的世界，产生于对科学的追求，或产生于人类思维的内部运作。不同种类的模式催生了数学的不同分支。例如：
- 算术和数论研究数字和计数的模式。
- 几何学研究形状的模式。
- 微积分使我们能够处理运动的模式。
- 逻辑学研究推理的模式。
- 概率论处理机会（偶然性）的模式。
- 拓扑学研究邻近与位置的模式。
- 分形几何研究自然界中发现的自相似模式。
2. 数学符号
即便是一个随意的观察者也能注意到现代数学的一个方面，那就是抽象符号的使用：代数表达式、看起来复杂的公式以及几何图形。数学家对抽象符号的依赖，反映了他们所研究的“模式”的抽象本质。
现实的不同层面需要不同形式的描述。例如，研究地形或向他人描述如何在陌生的城镇找路，最合适的方法是画一张地图，文字描述远没有地图合适。类似地，标注过的线图（蓝图）是指定建筑物构造的合适方式。而五线谱（Musical notation）是在纸上表现音乐最合适的方式。
对于各种抽象、形式化的模式和结构，最合适的描述和分析手段就是数学，即使用数学符号、概念和程序。例如，代数的符号化表示是描述和分析加法与乘法通用行为属性的最合适手段。
例如，加法交换律用英语可以写成：
当两个数字相加时，它们的顺序并不重要。
然而，它通常被写成符号形式：
大多数数学模式的复杂性和抽象程度如此之高，以至于使用符号以外的任何方式都会极其繁琐。因此，数学的发展一直伴随着抽象符号使用的稳步增加。
虽然现代形式的符号数学引入通常归功于 16 世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète），但代数符号最早似乎出现在亚历山大的丢番图（Diophantus）的作品中，他生活在公元 250 年左右。他的十三卷巨著《算术》（只有六卷存世）通常被认为是第一部代数教科书。特别地，丢番图使用特殊的符号来表示方程中的未知数及其幂次，并拥有表示减法和相等的符号。
如今，数学书倾向于充斥着符号，但数学符号本身并不是数学，就像乐谱本身并不是音乐一样。一页乐谱代表了一段音乐；当纸上的音符被歌唱或通过乐器演奏出来时，音乐本身才真正产生。音乐是在演奏中变得鲜活并成为我们体验的一部分的；音乐并不存在于印刷页上，而是存在于我们的脑海中。数学也是如此；书页上的符号只是数学的一种表现形式（Representation）。当由一位称职的“演奏者”（即受过数学训练的人）阅读时，印刷页上的符号便会苏醒——数学像某种抽象的交响乐一样，在读者的脑海中生活和呼吸。
重申一下，使用抽象符号的原因是为了应对数学帮助我们识别和研究的模式的抽象本质。例如，数学对于我们理解宇宙中隐形的模式至关重要。1623 年，伽利略写道：
自然这部宏伟的巨著只有那些通晓其书写语言的人才能阅读。而这种语言就是数学。
事实上，物理学可以被精确地描述为“通过数学镜头观察到的宇宙”。
仅举一例，由于应用数学来制定和理解物理定律，我们现在拥有了航空旅行。当一架喷气式飞机从头顶飞过时，你看不见任何支撑它的东西。只有通过数学，我们才能“看到”那些让它保持在高空的无形力量。在这种情况下，这些力是艾萨克·牛顿在 17 世纪识别出来的，他同时也开发了研究这些力所需的数学，尽管在那之后还经历了几个世纪，技术才发展到我们可以实际使用牛顿数学（并结合期间开发的许多其他数学）来建造飞机的程度。这只是我最喜欢的关于数学作用的模因（Memes）之一的众多例证之一：
数学让无形变为可见（Mathematics makes the invisible visible）。
3. 现代大学水平数学
有了对数学历史发展的简要概述，我可以开始解释现代大学数学与学校所教数学的根本区别。
直到约150年前，尽管数学家早已将研究领域扩展到数字以外的对象，但他们仍主要将数学视为计算。也就是说，精通数学本质上意味着能够进行计算或操作符号表达式来解决问题。总的来说，高中数学目前仍很大程度上基于这一早期传统。
但在19世纪，随着数学家处理的问题日益复杂，他们开始发现自己的直觉有时不足以指导工作。一些违背直觉（甚至偶尔是悖论性）的结果让他们意识到，某些为了解决现实问题而开发的方法产生了他们无法解释的后果。例如，巴拿赫-塔斯基悖论（Banach-Tarski Paradox）指出：原则上，你可以将一个球体切碎，然后重新组装成两个与原球体大小完全相同的相同球体。
于是人们明白，数学可以通向只有通过数学本身才能理解的领域。（因为数学逻辑是正确的，即便它挑战了我们的想象力，巴拿赫-塔斯基的结果也必须被接受为事实。）为了能自信地依赖那些通过数学发现、却无法通过其他手段验证的成果，数学家们开始转向数学内部，用数学的方法来审视数学本身。
这种内省导致19世纪中叶产生了一种全新的数学观念：核心关注点不再是执行计算或算出答案，而是表述并理解抽象概念和关系。这是一种从“动手做”到“去理解”的重点转移。数学对象不再被视为主要由公式给定，而是作为概念性质的载体。证明某事不再是按照规则转换术语，而是一个从概念出发进行逻辑推演的过程。
这场革命彻底改变了数学家看待自己学科的方式。然而对世界其他地方来说，这种转变似乎从未发生。直到这种新重点进入本科课程，非专业人士才意识到发生了变化。如果你作为一名大学生，在初次接触这种“新数学”时感到眩晕，你可以归咎于狄利克雷（Dirichlet）、戴德金（Dedekind）、黎曼（Riemann）等这些开创新方法的人。
作为前菜，我举一个转变的例子。在19世纪前，数学家习惯于认为像 这样的公式就是一个函数，即从给定数字 产生新数字 。随后，革命性的狄利克雷出现了，他说：忘掉公式吧，专注于函数在输入-输出行为方面的表现。根据狄利克雷的说法，函数是任何将旧数字产生新数字的规则。规则不一定非要由代数公式指定。事实上，没有理由将注意力局限于数字。函数可以是任何将一类对象映射并产生另一类新对象的规则。
这个定义使如下这种定义在实数上的规则变得合法：
如果 是有理数，设 ；如果 是无理数，设 。
数学家开始研究这种抽象函数的性质，不是通过公式，而是通过它们的行为。例如：当你输入不同的初始值时，函数是否总是产生不同的答案？（这种性质被称为单射性/Injectivity）。
这种抽象、概念化的方法在实分析（Real Analysis）的发展中尤为卓有成效。数学家研究连续性和可微性，将其作为独立的概念。法国和德国数学家开发了连续性的 “ 定义” ，直到今天，这仍让每一代后微积分时代的数学系学生费尽心力去掌握。
（第二页摘要）
同样的，黎曼定义复变函数时也优先考虑可微性而非公式。高斯、戴德金等人研究了环、域、理想等概念。1960年代曾尝试在中学推广“新数学”运动，但由于过于强调概念而忽视计算技能，最终以失败告终。目前的共识（尽管仍有争议）是：人类心智可能需要先对抽象实体的计算达到一定程度的掌握，才能开始对其性质进行推理。
4. 为什么要学习这些内容？
现在应该很清楚了，19 世纪从计算化视角向概念化视角的转变，是数学专业共同体内部的变革。作为专业人士，他们的兴趣在于数学的本质。对于大多数在日常工作中利用数学方法的科学家、工程师和其他人来说，情况一如既往，直到今天依然如此。计算（以及获得正确答案）仍然一如既往地重要，甚至比历史上任何时候都应用更广。
因此，对于数学界以外的人来说，这种转变与其说是重点转移，不如说是数学活动的扩张。今天的大学数学系学生不仅要学习解题程序，还需要掌握底层概念并能够为其使用的方法正名（justify）。
要求掌握这些合理吗？既然专业数学家的工作是开发新数学并证明其正确性，他们确实需要这种概念性理解。但对于那些只想把数学当成工具的人（比如工程师）来说，为什么也要把这作为要求呢？
答案有两个，它们都有很高的效力。（剧透：深层分析下，这两个答案其实是同一个。）
第一，教育不仅仅是为了获取随后职业生涯中使用的特定工具。 作为人类文明最伟大的创造之一，数学应该与科学、文学、历史和艺术并列教学，以便将我们文化的瑰宝代代相传。人类远不止于我们所从事的工作和追求的职业。教育是为生活做准备，掌握特定的工作技能只是其中的一部分。
这个答案无需进一步辩证。第二个答案则直接针对“工作工具”的问题：
毫无疑问，许多工作需要数学技能。事实上，在大多数行业中，无论处于哪个层级，对数学的要求往往比大众认为的要高。许多人在求职时才发现自己缺乏数学背景。
多年来，我们已经习惯了一个事实：工业社会的进步需要具备数学技能的劳动力。但如果你仔细观察，这些技能分为两类：
- 第一类人： 给定一个数学问题（即已经用数学术语表述好的问题），他们能找到数学解。
- 第二类人： 面对一个新问题（比如在制造业中），他们能识别并描述该问题的关键数学特征，并利用这种数学描述精确地分析问题。
在过去，对第一类人才的需求巨大，而对第二类人才的需求较小。我们的数学教育主要满足了这两者，虽然重点在于培养第一类人，但其中一些人不可避免地也擅长第二类活动。一切运作良好。但在当今世界，公司必须不断创新才能生存，需求正在转向第二类数学思考者——即那些能跳出数学框框、而不是在框框内思考的人。
虽然我们总需要精通数学技术、能长时间独立专注解题的人，但在 21 世纪，更大的需求将是第二类能力。由于我们没有专门的称呼，我建议称他们为：创新型数学思考者（Innovative mathematical thinkers） 。
这类人（其实不新，只是以前没人关注）首先需要对数学的权能、范围、应用时机和局限性有良好的概念性理解。他们还需要扎实掌握基础数学技能，但这种技能掌握不必达到“顶尖”水平。更重要的要求是：他们能很好地进行跨学科团队协作，能以新视角看待事物，能快速学习新技术，并擅长将旧方法应用到新场景。
Devlin, K. (2012). Introduction to mathematical thinking. Keith Devlin.
