一、树型结构（了解）
1.1 概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点： 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 树是递归定义的。
子树是不相交的，除了根节点外，每个结点有且仅有一个父节点，下图中就不是一颗树。
1.2 概念（重要）
结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为3
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为3
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：D、E、F、G、H为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为3
二、二叉树（重点）
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
编辑
从上图可以看出：二叉树不存在度大于2的结点 ，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
2.2 特殊的二叉树
1.满二叉树指的是一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1，则它就是满二叉树。
2.完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完 比特就业课 全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
注意：下图中就不是完全二叉树。
3.二叉搜索树是一种有序的二叉树，具有以下性质：
1）左子树中所有节点的值都小于根节点。
2）右子树中所有节点的值都大于根节点。
3）左右子树也分别是二叉搜索树。
例如插入数据 8、3、10、1、6，会形成一个满足“左小右大”的树结构。二叉搜索树的一个重要特点是：对它进行中序遍历，得到的结果是一个有序序列。
4.平衡二叉搜索树是在二叉搜索树基础上增加了“平衡”的限制，使树的高度尽量保持较小。常见的一种是 AVL 树。
平衡的条件一般是：任意节点的左子树和右子树高度差不超过 1。如果插入或删除节点导致不平衡，就需要通过旋转操作来调整结构。
三、二叉树遍历
3.1 前序遍历
遍历顺序：根节点 → 左子树 → 右子树
前序遍历结果：8、3、1、6、10
3.2 中序遍历
遍历顺序：左子树 → 根节点 → 右子树
中序遍历结果：1、3、6、8、10
如果是二叉搜索树，中序遍历会得到从小到大的排序序列。
3.3 后序遍历
遍历顺序：左子树 → 右子树 → 根节点
后序遍历结果：1、6、3、10、8
四、小练习
1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E B: F C: G D: H
3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce B: decab C: debac D: abcde
4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF
五、Java实现二叉树
这里采用链表来实现二叉树，且在实现前中后序遍历时，采用了递归和栈两种方法。
import java.util.*;
public class BinaryTree {
static class TreeNode{
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val){
this.val=val;
}
}
public TreeNode createTree(){
TreeNode A=new TreeNode('A');
TreeNode B=new TreeNode('B');
TreeNode C=new TreeNode('C');
TreeNode D=new TreeNode('D');
TreeNode E=new TreeNode('E');
TreeNode F=new TreeNode('F');
TreeNode G=new TreeNode('G');
TreeNode H=new TreeNode('H');
A.left=B;
A.right=C;
B.left=D;
B.right=E;
C.left=F;
C.right=G;
E.right=H;
return A;
}
void preOrder(TreeNode root){
if(root==null){
return;
}
System.out.print(root.val+" ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
void preOrderNor(TreeNode root){
if(root==null){
return;
}
Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();
TreeNode cur=root;
while(cur!=null||!stack.isEmpty()){
while(cur!=null){
stack.push(cur);
System.out.print(cur.val+" ");
cur=cur.left;
}
TreeNode top=stack.pop();
cur=top.right;
}
}
void inOrder(TreeNode root){
if(root==null){
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val+" ");
inOrder(root.right);
}
void inOrderNor(TreeNode root){
if(root==null){
return;
}
Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();
TreeNode cur=root;
while(cur!=null||!stack.isEmpty()){
while(cur!=null){
stack.push(cur);
cur=cur.left;
}
TreeNode top=stack.pop();
System.out.print(top.val+" ");
cur=top.right;
}
}
void postOrder(TreeNode root){
if(root==null){
return ;
}
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val+" ");
}
void postOrderNor(TreeNode root){
if(root==null){
return;
}
Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();
TreeNode cur=root;
TreeNode prev=null;
while(cur!=null||!stack.isEmpty()){
while(cur!=null){
stack.push(cur);
cur=cur.left;
}
TreeNode top=stack.peek();
if(top.right==null||top.right==prev){
System.out.print(top.val+" ");
stack.pop();
prev=top;
}else{
cur=top.right;
}
}
}
public int nodeSize;
int size(TreeNode root){
if(root==null){
return 0;
}
nodeSize++;
size(root.left);
size(root.right);
return nodeSize;
}
}
首先定义了TreeNode，表示二叉树的节点。每个节点包含三个成员变量：val 用来存储节点的数据；left 表示左子节点的引用；right 表示右子节点的引用。构造方法 TreeNode(char val) 用于在创建节点时给节点赋值。
createTree() 方法用于手动构造一棵二叉树。代码中创建了 A、B、C、D、E、F、G、H 八个节点，然后通过给 left 和 right 赋值的方式建立它们之间的父子关系。
preOrder(TreeNode root) 方法实现的是前序遍历的递归写法。前序遍历的顺序是“根节点 → 左子树 → 右子树”。函数首先判断当前节点是否为空，如果为空直接返回；否则先访问当前节点，然后递归遍历左子树，再递归遍历右子树。这种写法利用了函数递归调用来完成遍历。
preOrderNor(TreeNode root) 是前序遍历的非递归实现。由于没有递归调用，所以需要使用 Stack 来模拟函数调用过程。程序先定义一个栈，然后用 cur 指针指向当前节点。从根节点开始不断向左遍历，每访问一个节点就输出节点值并将节点压入栈中。当左子树为空时，从栈中弹出节点并转向它的右子树继续遍历，直到当前节点为空且栈也为空为止。
inOrder(TreeNode root) 方法实现的是中序遍历的递归版本。中序遍历的顺序是“左子树 → 根节点 → 右子树”。程序先递归遍历左子树，然后访问当前节点并输出，最后再递归遍历右子树。
inOrderNor(TreeNode root) 是中序遍历的非递归实现。其思想与前序遍历类似，同样借助栈来实现。程序先不断将当前节点及其左子节点压入栈中，当左子树遍历到尽头时，从栈中弹出节点并访问它，然后转向该节点的右子树继续执行相同的过程。
postOrder(TreeNode root) 方法实现的是后序遍历的递归写法。后序遍历的顺序是“左子树 → 右子树 → 根节点”。程序先递归遍历左子树，再递归遍历右子树，最后访问当前节点。
postOrderNor(TreeNode root) 是后序遍历的非递归实现，也是三种非递归遍历中最复杂的一种。程序同样使用栈来保存节点，并使用 prev 变量记录上一次访问的节点。先不断向左遍历并压栈，然后查看栈顶节点。如果栈顶节点的右子树为空，或者右子树已经被访问过，就可以访问当前节点并将其出栈，同时更新 prev；否则说明右子树还没有访问，需要先转向右子树继续遍历。
最后是 size(TreeNode root) 方法，用于统计二叉树中节点的个数。该方法采用递归方式遍历整棵树，每访问一个节点就让成员变量 nodeSize 加一，然后继续递归遍历左子树和右子树。当节点为空时返回。最终 nodeSize 中保存的就是整棵树的节点数量。
