快速乘法（位运算乘法）原理总结
📌 一、问题背景
实现一个乘法：
long mul(long a, long k)
但不直接使用 a * k，而是用：
- 加法
- 位运算
📌 二、核心思想
将 k 拆成二进制：
k = b0·2^0 + b1·2^1 + b2·2^2 + ... + bn·2^n
（bi ∈ {0,1}）
那么：
a × k
= a × (b0·2^0 + b1·2^1 + ...)
= b0·(a·2^0) + b1·(a·2^1) + ...
👉 本质：
把乘法拆成多个“是否选择”的加法
📌 三、代码实现
long mul(long a, long k) {
long ans = 0;
while (k > 0) {
if ((k & 1) == 1) ans += a;
k >>= 1;
a += a;
}
return ans;
}
📌 四、关键点拆解
1️⃣ (k & 1)
判断当前二进制最低位：
- 1 → 需要加当前的
a - 0 → 跳过
2️⃣ k >>= 1
右移一位：
处理下一位（二进制从低到高）
3️⃣ a += a（核心）
等价于：
a = a × 2
📌 五、为什么必须 a += a（数学推导）
我们需要构造：
a·2^0, a·2^1, a·2^2, a·2^3 ...
观察规律：
a·2^(i+1) = 2 × (a·2^i)
所以递推关系：
a_{i+1} = 2 × a_i
👉 对应代码：
a += a
📌 六、完整数学对应关系
| 轮次 i | 当前 a 值 | 含义 |
|---|---|---|
| 0 | a | a·2^0 |
| 1 | 2a | a·2^1 |
| 2 | 4a | a·2^2 |
| 3 | 8a | a·2^3 |
📌 七、整体过程本质
👉 整个算法在做三件事：
- 按位遍历 k（二进制）
- 如果当前位是 1 → 加上对应的 a·2^i
- 每轮把 a 翻倍，进入下一权重
📌 八、例子
计算：
3 × 13
二进制：
13 = 1101
过程：
| k | 是否加 | a | ans |
|---|---|---|---|
| 1101 | ✔ | 3 | 3 |
| 110 | ✘ | 6 | 3 |
| 11 | ✔ | 12 | 15 |
| 1 | ✔ | 24 | 39 |
📌 九、本质总结（一句话）
通过二进制拆分 k，用“a 的倍增（×2）”逐步构造出所有 a·2^i，并按需累加
📌 十、关键理解（最重要）
k决定 选哪些项a += a负责 生成这些项
📌 十一、适用场景
- 大数乘法（防止溢出）
- 模运算（如
(a * b) % mod） - 算法竞赛
- 无乘法指令场景
🚀 最终理解
乘法 = 二进制选择 + 倍增构造
