几个方程和函数单调性凸凹性等性质解析（12）
内容目录：
1.求函数y=sin(2x+π/3)在[0,2π]上的单调区间
2.函数y=ln(46+40sinx)的单调凸凹性质归纳
3.曲线方程y=e^(3x+4y)的主要性质
4.函数y=ln[(84+x)/(197-x)]的单调和凸凹区间
**1.**求函数y=sin(2x+π/3)在[0,2π]上的单调区间
主要内容：
本文根据正弦函数y=sinx的单调性质，求解函数y=1 sin(2x+π/3)在给定区间[0,2π]上的单调增区间和减区间。
详细步骤：
解：对于正弦函数y=sinx，
其单调增区间为：[2kπ-π/2,2kπ+π/2],
其单调减区间为：(2kπ+π/2,2kπ+3π/2)，k∈Z。
对于本题，y=sin(2x+π/3)，有：
(1)****当2kπ-π/2≤2**x+**π/3≤2kπ+π/2时，
即:2kπ-5π/6≤2x≤2kπ+π/6,
2kπ/2-5π/12≤x≤2kπ/2+π/12，
此时结合x给定区间[0,2π]，并对k取值，求得：
取k=0时，增区间为[0，π/12],
取k=1时，增区间为[7π/12，17π/12]，
取k=2时，增区间为[19π/12，25π/12]，
取k=3时，增区间为[31π/12，37π/12]。
(2)****当2kπ+π/2≤2**x+**π/3≤2kπ+3π/2时，
即：2kπ+π/6≤2x≤2kπ+7π/6,
2kπ/2+π/12≤x≤2kπ/2+7π/12，
此时结合x给定区间[0,2π]，并对k取值，求得：
取k=0时，减区间为[π/12，7π/12],
取k=1时，减区间为[17π/12，19π/12]，
取k=2时，减区间为[25π/12，31π/12]，
取k=3时，减区间为[37π/12，43π/12]。
**2.**函数y=ln(46+40sinx)的单调凸凹性质归纳
主要内容：
本文主要介绍三角与对数的复合函数y=ln(46+40sinx)的定义域、单调性和凸凹性，并用导数知识解析函数的单调区间和凸凹区间。
※.函数定义域：
因为-1≤sinx≤1，
所以-40≤40sinx≤40，则有：
0＜6=46-40≤46+40sinx≤40+46=86，
则函数y=ln(46+40sinx)的真数部分为正数，符合定义要求，所以该函数的定义域为全体实数，即定义域为：(-∞，+∞)。
※.函数单调性：
由导数的知识来求解和判断。
∵y=ln(46+40sinx)，
∴dy/dx=40cosx/(46+40sinx),
令dy/dx=0,则cosx=0，此时x=kπ+π/2,k∈Z.
函数的单调性为：
(1)当cosx＞0,即x∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]时，dy/dx＞0，此时函数为增函数；
(2)当cosx＜0,即x∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]时，dy/dx＜0，此时函数为减函数。
※.函数凸凹性：
因为dy/dx=bcosx/(46+40sinx)，
所以d^2y/dx^2
=40 [-sinx(46+40sinx)-40cosxcosx]/(46+40sinx)^2,
=-40(46sinx+40sin^2x+40cos^2x)/(46+40sinx)^2
=-40(46sinx+40)/(46+40sinx)^2.
(1)当-(46sinx+40)≥0时，即46sinx+40≤0，则：
[2kπ+π+arcsin(20/23),2kπ+2π-arcsin(20/23)],此时d^2y/dx^2≥0，函数为凹函数，该区间为函数的凹区间。
(2)当-(46sinx+40)＜0时，即46sinx+40＞0，则：
[2kπ-arcsin(20/23),2kπ+π+arcsin(20/23)],此时d^2y/dx^2＜0，函数为凸函数，该区间为函数的凸区间。
**3.**曲线方程y=e^(3x+4y)的主要性质
※.曲线方程的定义域
曲线方程表达式为y=e^(3x+4y),即y>0,且lny=3x+4y，
则：3x=lny-4y.设3x=F(y)=lny-4y,把y看成自变量，求导得：
F＇(y)=(1/y)-4=(1-4y)/y，令F＇(y)=0，则y=1/4.
当0<y<1/4时，F＇(y)>0;当y>1/4时，F＇(y)<0.
所以，当y=1/4时，F(y)有最大值，即：
3x=F(y)≤F(y)max=-(1+ln4)
x≤-(1+ln4)/3≈-0.80,
即曲线方程的定义域为：(-∞，-0.80]。
※.曲线方程的单调性
对方程两边同时对x求导，得：
y=e^(3x+4y)
y＇=e^(3x+4y)(3+4y＇)
y＇=3e^(3x+4y)/[1-4e^(3x+4y)]
即：y＇=3y/(1-4y).
导数y＇的符号与(1-4y)的符号一致。
曲线方程的单调性为：
(1).当y∈(0,1/4]时，y＇＞0，此时曲线方程y随x的增大而增大；
(2).当y∈(1/4,+∞）时，y＇＜0，此时曲线方程y随x的增大而减小。
※.曲线方程的凸凹性
∵y＇=-3y/(4y-1)，
∴y＂=-3[y＇(4y-1)-4yy＇]/(4y-1)^2
=-3y＇/(4y-1)^2
=3^2y/(1-4y)^3
则y＂的符号与(1-4y)的符号一致。
曲线方程的凸凹区间为：
(1).当y∈(0,1/4]时，y＂＞0，此时曲线方程为凹曲线;
(2).当y∈(1/4,+∞）时，y＂＜0，此时曲线方程为凸曲线。
**4.**函数y=ln[(84+x)/(197-x)]的单调和凸凹区间
主要内容：
在函数的定义域要求的前提下，通过计算函数的一阶导数和二阶导数，得函数的驻点和拐点，进而求解函数y的单调性和凸凹性。
步骤一：求解定义域
∵(84+x)/(197-x)>0
∴(x+84)(x-197)<0,则：
-84<x<197,即函数的定义域为：
(-84,197)。
步骤二：求解单调区间
∵y=ln[(84+x)/(197-x)]
∴dy/dx
=[(197-x)/(84+x)]*[(197-x)-(84+x)*(-1)]/(197-x)²
=281/[(x+84)(197-x)]，结合定义域，可知dy/dx>0，
即函数在定义域上为单调增函数，则函数的增区间为：
(-84,197)。
步骤三：求函数的凸凹性区间
∵dy/dx=281/[(x+84)(197-x)],
∴d²y/d²x
=-281*[(197-x)+(x+84)*(-1)]/[(x+84)(197-x)]²
=281(2x-113)/[(x+84)(197-x)]²。
令d²y/d²x=0,则：2x-113=0，得x=113/2。
（1）.当x∈[113/2,197)时,d²y/d²x>0,则函数为凹函数，该区间为凹区间。
（2）.当x∈(-84,113/2)时,d²y/d²x<0,则函数为凸函数，该区间为凸区间。
