【力扣-240. 搜索二维矩阵2 ✨】Python笔记本文深入剖析 LeetCode 240 题「搜索二维矩阵 II」

🚀 从暴力解法到线性查找：LeetCode 240 题解

摘要：本文深入剖析 LeetCode 240 题「搜索二维矩阵 II」。面对行与列均有序的矩阵，我们不能简单套用二分查找，而应利用其特性从右上角开始线性查找，将时间复杂度优化至 $O(m+n)$ 。

🔑 核心知识点：有序矩阵的特性与“Z 字形”查找

在解决这道题之前，我们需要理解二维矩阵中行有序和列有序意味着什么，以及如何利用这个特性。

1. 二分查找的局限性

对于普通的有序数组，我们习惯使用二分查找。但在二维矩阵中，如果直接对每一行进行二分查找，时间复杂度是 $O(m \log n)$ 。

问题：这虽然可行，但没有充分利用“列也是有序”这一条件。

2. 为什么从“右上角”开始？

这是本题最精妙的思路。我们选择从矩阵的右上角（或者左下角）作为起点，可以将矩阵看作一棵二叉搜索树：

当前元素 >> 目标值：由于该行右边的数都比当前数大，该行无解，只能向下走（寻找更大的数）。
当前元素 << 目标值：由于该列下方的数都比当前数大，该列无解，只能向左走（寻找更小的数）。
当前元素 == 目标值：找到答案，返回 True。

这种策略每一步都能排除一行或一列，最终形成一个类似“Z”字形的搜索路径，时间复杂度仅为 $O(m+n)$ 。

💻 题目解析：LeetCode 240. 搜索二维矩阵 II

📝 题目描述

每行的元素从左到右升序排列。
每列的元素从上到下升序排列。

📊 示例

输入：matrix = [
  [1, 4, 7, 11, 15],
  [2, 5, 8, 12, 19],
  [3, 6, 9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
], target = 5

输出：true

💻 代码实现（Python）

根据上述思路，我们从右上角开始遍历，利用指针模拟“向下”和“向左”的移动。

from typing import List

class Solution:
    def searchMatrix(self, matrix: List[List[int]], target: int) -> bool:
        if not matrix or not matrix[0]:
            return False
        
        # 初始化指针在右上角
        # row: 行索引，col: 列索引
        row, col = 0, len(matrix[0]) - 1
        
        # 当指针在矩阵范围内时循环
        while row < len(matrix) and col >= 0:
            if matrix[row][col] == target:
                return True
            elif matrix[row][col] > target:
                # 当前数大于目标，向左走（缩小列）
                col -= 1
            else:
                # 当前数小于目标，向下走（增大行）
                row += 1
        
        # 遍历结束未找到
        return False

📊 复杂度分析

维度	分析结果	说明
时间复杂度	O(m+n)	最坏情况下，指针需要从右上角走到左下角，遍历 m+n 个元素。
空间复杂度	O(1)	只使用了常数级别的额外空间（row, col 指针）。

📝 总结

这道题是经典的算法思维题。关键在于打破常规，不要试图把二维问题强行降维成一维去套用二分查找。利用矩阵的有序性，通过选取合适的起点（右上角或左下角），可以将查找过程转化为线性时间复杂度的高效操作。