基础算法--快速幂快速幂，顾名思义就是快速地计算出一个幂值，比如求$5^{n}$。如果我们限定在一秒钟内算出，如果我们

快速幂

快速幂是什么

快速幂，顾名思义就是快速地计算出一个幂值，比如求 $5^{n}$ 。如果我们限定在一秒钟内算出，如果我们简单地循环n次，那么n最多为 $10^8$ ，而且时间复杂度为O(n)，也比较慢。

对于5 * 5 * 5 * 5 * 5 * ... * 5，我们可以这样考虑，我们两两分组，化为（5 * 5）* （5 * 5）* ... * （5 * 5）。这样分组以后，我们发现还可以继续分下去(5 * 5 * 5 * 5) * ... * (5 * 5 * 5 * 5)，然后还可以继续分下去... 当然，有的时候n并不一定是 $2^t$ 这种形式，但是所有的正整数都可以写成 $2^t$ 相加的形式（其实就是转换二进制），例如19 = 16 + 2 + 1。显然时间复杂度为 $\log_2(n)$ 。

下面是一个简单的代码演示：

int res;
while(x != 0){
	if(x % 2 == 1){
		res = res * a;
	}
	x = x / 2;
	a = a * a;
}
return res;

快速幂作为一种数据处理方式，一般不会单独出题，而是作为题目中的一个中间步骤。下面我们一起来看一道模板题～

快速幂.png

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
long long a, b, p, x, n;
long long ans = 1;

int main(){
    cin >> a >> b >> p;
    x = b;
    n = a;
    while(x != 0){
        if(x % 2 == 1){
            ans = (ans * n) % p;
        }
        x /= 2;
        n = (n * n) % p;
    }
    ans = ans % p;
    printf("%lld^%lld mod %lld=%lld", a, b, p, ans);
    return 0;
}

这道题虽然是先让你算出答案后求模p，但是我们如果这样做，会发现会报一堆的WA，这是因为我们在中间的运算过程中，数值范围超出了long long。那么该怎么办呢？告诉大家一个结论：任意一个数x，有x % p = (x % p) % p。所以我们在每一次循环中，都可以对ans和n进行模p操作，最后的答案也是一样的，而且不会超出范围