主要内容：
本文以下述4道三元函数习题为例，详细介绍使用全微分、直接法计算三元函数的一阶偏导数，并利用链式求导法则，进一步计算其3个二阶偏导数的计算过程。
**1.**设z=f(32x²+57y²)+24x,求z对x,y的所有二阶偏导数。
2.设z=xln(50x+52y),求z的二阶偏导数∂²z/∂x²**、∂²z/∂y²、∂²z/∂x∂y****。**
3.z=ln(41-43x+45y)+13x****²y的二阶偏导数计算。
4.求z(x,y)=e^[xyln(30x²+23y²)]的二阶偏导数。
详细步骤：
1.设z=f(32x²**+57y²)+24x,**求z对x,y的所有二阶偏导数。
解：首先求一阶偏导数，使用全微分法有：
∵dz=f'(32x²+57y²)*(2*32xdx+2*57ydy)+24dx,
∴∂z/∂x=64xf'(32x²+57y²)+24;
∂z/∂y=114yf'(32x²+57y²)。
进一步求二阶偏导数，有：
∂²z/∂x²
=64f'(32x²+57y²)+64xf''(32x²+57y²)*2*32x
=64f'(32x²+57y²)+64²x²f''(32x²+57y²);
∂²z/∂y²
=114f'(32x²+57y²)+114yf''(32x²+57y²)*2*57y
=114f'(32x²+57y²)+114²y²f''(32x²+57y²);
∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x
=64xf''(32x²+57y²)*2*57y
=4*32*57xyf''(32x²+57y²)。
2.设z=xln(50x+52y),求z的二阶偏导数∂²z/∂x²、∂²z/∂y²**、∂²z/∂x∂y。**
解：先使用全微分求出一阶偏导数：
dz=ln(50x+52y)dx+x(50dx+52dy)/(50x+52y)
=[ln(50x+52y)+50x/(50x+52y)]dx+52xdy/(50x+52y)
∂z/∂x=ln(50x+52y)+50x/(50x+52y),
∂z/∂y=52x/(50x+52y)，进一步求偏导数有：
∂²z/∂x²
=50/(50x+52y)+50[(50x+52y)-50x]/(50x+52y)²
=50/(50x+52y)+50*52y/(50x+52y)²
=50*(50x+2*52y)/(50x+52y)²;
∂²z/∂y²
=-52x*52/(50x+52y)²=-52²x/(50x+52y)²;
∂²z/∂x∂y =∂²z/∂y∂x
=52 (50x+52y–50x)/(50x+52y)²
=52²y/(50x+52y)².
3.z=ln(41-43x+45y)+13x²y****的二阶偏导数计算
解：先使用全微分求出一阶偏导数：
dz=(41-43x+45y)'/(41-43x+45y)+2*13xydx+13x²dy
=(-43dx+45dy)/(41-43x+45y)+2*13xydx+13x²dy
=[2*13xy-43/(41-43x+45y)]dx+[13x²+45/(41-43x+45y)]dy;
根据全微分，则一阶偏导数有：
dz/dx=2*13xy-43/(41-43x+45y);
dz/dy=13x²+45/(41-43x+45y).
再求二阶偏导数如下：
∂²z/∂x²
=2*13y+43*(-43)/(41-43x+45y)²
=2*13y-43²/(41-43x+45y)²;
∂²z/∂y²
=0-45²/(41-43x+45y)²
=-45²/(41-43x+45y)²;
∂²z/∂x∂y
=2*13x-43*(-45)/(41-43x+45y)²
=2*13x+43*45/(41-43x+45y)².
4.求z(x,y)=e^[xyln(30x²**+23y²)]**的二阶偏导数
**(1)**计算一阶偏导数
1)先求对x的偏导数，此时将y看成常数，有：
z=e^[xyln(30x²+23y²)]，
∂z/∂x=z[yln(30x²+23y²)+xy*2*30x/(30x²+23y²)
=z[yln(30x²+23y²)+2*30x²y/(30x²+23y²)],
2)再求对y的偏导数，此时将x看成常数，有：
∂z/∂y=z[xln(30x²+23y²)+xy*2*23y/(30x²+23y²)]
=z[xln(30x²+23y²)+2*23xy²/(30x²+23y²)]。
(2)对∂z/∂x****再次对x求导，有：
∂²z/∂x²=z*(∂z/∂x)²+z{y*2*30x/(30x²+23y²)+2*30[2xy*(30x²+23y²)-x²y*2*30x]/(30x²+23y²)²},
=z(∂z/∂x)²+2*30xyz[1/(30x²+23y²)+(2*23y²)/(30x²+23y²)²]
=z(∂z/∂x)²+2*30xyz(30x²+3*23y²)/(30x²+23y²)²。
(3)对∂z/∂y****再次对y求导，有：
∂²z/∂y²=z(∂z/∂y)²+z{2*23xy/(30x²+23y²)+2*23[2xy(30x²+23y²)-xy²*2*23y]/(30x²+23y²)²}
=z(∂z/∂y)²+z[2*23xy/(30x²+23y²)+2*23*2xy*30x²/(30x²+23y²)²]
=z(∂z/∂y)²+2*23xyz[1/(30x²+23y²)+2*30x²/(30x²+23y²)²]
=z(∂z/∂y)²+2*23yz*(3*30x²+23y²)/(30x²+23y²)²。
(4)对∂z/∂y再次对x求导，或∂z/∂x****再次对y求导有：
∂²z/∂x∂y =∂²z/∂y∂x
**=**z[xln(30x²+23y²)+2*23xy²/(30x²+23y²)][yln(30x²+23y²)+2*30x²y/(30x²+23y²)]+z{ln(30x²+23y²)+y*2*23y/(30x²+23y²)+2*30*x²[(30x²+23y²)-y*2*23y]/(30x²+23y²)²}
**=**∂z/∂y*[yln(30x²+23y²)+2*30x²y/(30x²+23y²)]+z{ln(30x²+23y²)+2*23y²/(30x²+23y²)+2*30*x²(30x²-23y²)/(30x²+23y²)²}
=(1/z)*∂z/∂y*∂z/∂x+z{ln(30x²+23y²)+2*(30²x⁴+23²y⁴)/(30x²+23y²)²}.
