二分查找 (Binary Search)1. 原理解析二分查找，又名折半查找。生活中的例子：假设我们在玩一个猜数字游

1. 原理解析

二分查找，又名折半查找。 生活中的例子：假设我们在玩一个猜数字游戏，数字范围是 1 到 100。我心里想了一个数字，你每次猜一个数字，我会告诉你“大了”、“小了”还是“猜对了”。如果你从 1 开始挨个猜（1, 2, 3...），最坏情况要猜 100 次。但如果你很聪明，你会先猜 50：

如果我说“大了”，你就知道答案在 1 到 49 之间。
下一次你猜 25，不断折半。这就是二分查找的核心思想：每次排除一半的错误答案，极大地缩小搜索范围。

2. 使用场景

前提条件：数据必须是有序的（从小到大或从大到小），并且支持随机访问（比如数组）。
典型场景：在大量有序数据中快速定位某个特定的值，或者寻找满足某个条件的边界（如第一个大于某数的元素）。

3. 核心难点/易错点详解

二分查找看起来简单，但写对很难（被誉为“十个二分九个错”）。核心难点在于循环边界和区间更新。

关键点：明确你定义的“搜索区间”是什么。 通常我们定义搜索区间为“左闭右闭” [left, right]：

初始化：left = 0, right = array.length - 1 （因为索引 length-1 是可以取到的）。
循环条件：while (left <= right)。为什么是 <=？ 因为当 left == right 时，区间内还有一个元素没检查，比如区间变成了 [3, 3]，你得把索引为 3 的元素检查一下。如果用 <，就会漏掉这个元素。
更新区间：
- 如果 array[mid] > target，说明目标在左半边。此时新的右边界应该是 right = mid - 1（因为 mid 已经检查过不是目标了，直接剔除）。
- 如果 array[mid] < target，说明目标在右半边。新的左边界 left = mid + 1。

防溢出小技巧：计算中间位置时，不要写 mid = (left + right) / 2。如果 left 和 right 都很大，相加可能会超出整型的最大值范围导致溢出。正确写法：mid = left + (right - left) / 2。也可以理解为“左端点加上区间长度的一半”。

4. 代码实战

4.1 左闭右闭写法 `[left, right]`

Python 实现：

def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
    left, right = 0, len(nums) - 1
    
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2
        
        if nums[mid] == target:
            return mid  
        elif nums[mid] < target:
            left = mid + 1  
        else:
            right = mid - 1 
            
    return -1

Java 实现：

public class BinarySearch {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;

        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            } else if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

4.2 左闭右开写法 `[left, right)` （补充拓展）

Python 实现：

def binary_search_open(nums: list[int], target: int) -> int:
    left, right = 0, len(nums) # right 取不到 len(nums)
    
    # 因为 right 取不到，所以 left == right 时区间为空，循环条件不能带等号
    while left < right:
        mid = left + (right - left) // 2
        
        if nums[mid] == target:
            return mid
        elif nums[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid # 右边界取不到，设为 mid 刚好排除 mid 本身
            
    return -1

Java 实现：

public class BinarySearchOpen {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length; 

        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            } else if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
        return -1;
    }
}

5. 复杂度分析

时间复杂度： $O(\log N)$ 。每次循环将搜索范围缩小一半，假设总共有 $N$ 个元素，最多需要找 $\log_2(N)$ 次。这是极其高效的（比如 40 亿个数字中找一个，最多只需 32 次）。
空间复杂度： $O(1)$ 。我们只使用了几个整型变量（left, right, mid），没有额外申请数组空间。

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