SCAU算法设计与分析 —— 课后习题

三石吖
3 阅读6分钟

By 三石吖 2026.2

  • 差11题

6.课后习题

18931分形

递归好题

首先可以发现，等级为nn的盒子应该有3n−13^{n-1}行，每一级盒子都由五部分上一级盒子组成，每一部分的占据3n−23^n-2行，我们可以通过简单计算算出每一部分的起始行位置，然后递归地画出整个盒子

当然，我们发现nn最大只有5，如果你是打表大师的话，完全可以O(1)O(1)通过本题！

#include<bits/stdc++.h>

using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using i128 = __int128;
using u128 = unsigned __int128;
using pii = std::pair<int,int>;
using pll = std::pair<i64,i64>;
using pli = std::pair<i64,int>;
using pil = std::pair<int,i64>;
constexpr i64 INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
constexpr int inf = 0x3f3f3f3f;

std::vector<std::string>s;

void draw(int layer, int d){
    if(layer == 1){
        s[d].push_back('X');
        return;
    }//最小分级

    int x = pow(3, layer - 2);//当前等级占据行数
    draw(layer - 1, d);//画左上角部分
    for(int i = 0; i < x; i++){
        for(int j = 0; j < x; j++){
            s[d + i].push_back(' ');
        }
    }//填充左上角和右上角之间的空格
    
    draw(layer - 1, d);//画右上角部分

    for(int i = 0; i < x; i++){
        for(int j = 0; j < x; j++){
            s[d + x + i].push_back(' ');
        }
    }//填充中间部分左边的空格
    
    draw(layer - 1, d + x);//画中间部分
    
    for(int i = 0; i < x; i++){
        for(int j = 0; j < x; j++){
            s[d + x + i].push_back(' ');
        }
    }//填充中间部分右边的空格

    draw(layer - 1, d + 2 * x);//画左下角部分
    
    for(int i = 0; i < x; i++){
        for(int j = 0; j < x; j++){
            s[d + 2 * x + i].push_back(' ');
        }
    }//填充左下角部分和右下角部分之间的空格
    
    draw(layer - 1, d + 2 * x);//画右下角部分
}
int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);    
    std::cin.tie(nullptr);

#ifdef LOCAL
    freopen("make.txt", "r", stdin);
    freopen("a.txt", "w", stdout);
#endif
    
    int n;
    std::cin>>n;
    int m = pow(3, n - 1);
    s.resize(m);

    draw(n, 0);
    for(int i = 0; i < m; i++){
        std::cout << s[i] << "\n";
    }
    return 0;
}


/*

*/

19180 集合划分问题一

①nn独立作为一个子集，问题变成n−1n-1个数划分为m−1m-1个集合

②nn插入别的子集，有mm种方法，先求n−1n-1个数划分为mm个集合的方法数

递归求解即可

涉及到大量重复计算，可用记忆化搜索优化

  • 时间复杂度O(n×m)O(n \times m)
#include<bits/stdc++.h>

using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using i128 = __int128;
using u128 = unsigned __int128;
using pii = std::pair<int,int>;
using pll = std::pair<i64,i64>;
using pli = std::pair<i64,int>;
using pil = std::pair<int,i64>;
constexpr i64 INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
constexpr int inf = 0x3f3f3f3f;

void solve(){
    int n, m;
    std::cin >> n >> m;

    std::vector<std::vector<i64>>f(n + 1, std::vector<i64>(m + 1));
    for(int i = 0; i <= n; i++){
        f[i][1] = 1;
        if(i <= m){
            f[i][i] = 1;
        }
    }

    auto dfs = [&](auto &&self, int x, int y) -> i64 {
        
        if(f[x][y]){
            return f[x][y];
        }

        f[x][y] = self(self, x - 1, y - 1) + self(self, x - 1, y) * y;
        return f[x][y];
    };

    std::cout << dfs(dfs, n, m) << "\n";
}             

int main(){ 
    std::ios::sync_with_stdio(false);    
    std::cin.tie(nullptr);

#ifdef LOCAL
    freopen("make.txt", "r", stdin);
    freopen("a.txt", "w", stdout);
#endif

    int T = 1;
    // std::cin >> T;
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0; 
}   
/* 

*/

19448 集合划分问题二

和上题大差不差，枚举一下子集个数即可

  • 时间复杂度O(n2)O(n^2)
#include<bits/stdc++.h>

using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using i128 = __int128;
using u128 = unsigned __int128;
using pii = std::pair<int,int>;
using pll = std::pair<i64,i64>;
using pli = std::pair<i64,int>;
using pil = std::pair<int,i64>;
constexpr i64 INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
constexpr int inf = 0x3f3f3f3f;

void solve(){
    int n;
    std::cin >> n;

    std::vector<std::vector<i64>>f(n + 1, std::vector<i64>(n + 1));
    for(int i = 0; i <= n; i++){
        f[i][1] = f[i][i] = 1;
    }

    auto dfs = [&](auto &&self, int x, int y) -> i64 {
        
        if(f[x][y]){
            return f[x][y];
        }

        f[x][y] = self(self, x - 1, y - 1) + self(self, x - 1, y) * y;
        return f[x][y];
    };

    i64 ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        ans += dfs(dfs, n, i);
    }
    std::cout << ans << "\n";
}             

int main(){ 
    std::ios::sync_with_stdio(false);    
    std::cin.tie(nullptr);

#ifdef LOCAL
    freopen("make.txt", "r", stdin);
    freopen("a.txt", "w", stdout);
#endif

    int T = 1;
    // std::cin >> T;
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0; 
}   
/* 

*/

19529 照明灯安装

答案具有单调性，于是二分答案

如何检查是否合法呢，假设当前要检查的距离为dd，我们从前往后，每隔dd放一个照明灯，最后看能放的照明灯数是否≥k\ge k即可

  • 时间复杂度O(nlogn)O(nlogn)
#include<bits/stdc++.h>

using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using i128 = __int128;
using u128 = unsigned __int128;
using pii = std::pair<int,int>;
using pll = std::pair<i64,i64>;
using pli = std::pair<i64,int>;
using pil = std::pair<int,i64>;
constexpr i64 INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
constexpr int inf = 0x3f3f3f3f;

void solve(){
    int n, k;
    std::cin >> n >> k;
    std::vector<int>x(n);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        std::cin >> x[i];
    }
    int lo = 1, hi = x.back() - x.front();
    auto check = [&](int mid){
        int cnt = 0;
        for(int i = 0, j; i < n; i = j){
            cnt++;
            j = i + 1;
            while(j < n && x[j] - x[i] < mid){
                j++;
            }
        }
        return cnt >= k;
    };

    int ans;
    while(lo <= hi){
        int mid = lo + hi >> 1;
        if(check(mid)){
            ans = mid;
            lo = mid + 1;
        }else{
            hi = mid - 1;
        }
    }
    std::cout << ans << "\n";
}             

int main(){ 
    std::ios::sync_with_stdio(false);    
    std::cin.tie(nullptr);

#ifdef LOCAL
    freopen("make.txt", "r", stdin);
    freopen("a.txt", "w", stdout);
#endif

    int T = 1;
    // std::cin >> T;
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0; 
}   
/* 

*/

19184 传球游戏

dp[i][j]dp[i][j]表示第jj轮第ii个同学拿到球的方法数

状态转移方程：dp[j][i]=dp[(j−1+n)%n][i−1]+dp[(j+1)%n][i−1]dp[j][i] = dp[(j - 1 + n) \% n][i - 1] + dp[(j + 1) \% n][i - 1]

  • 时间复杂度O(n×m)O(n \times m)
#include<bits/stdc++.h>

using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using i128 = __int128;
using u128 = unsigned __int128;
using pii = std::pair<int,int>;
using pll = std::pair<i64,i64>;
using pli = std::pair<i64,int>;
using pil = std::pair<int,i64>;
constexpr i64 INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
constexpr int inf = 0x3f3f3f3f;

void solve(){
    int n, m;
    std::cin >> n >> m;
    std::vector<std::vector<int>>dp(n, std::vector<int>(m + 1, 0));
    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            dp[j][i] += dp[(j - 1 + n) % n][i - 1] + dp[(j + 1) % n][i - 1];
        }
    }
    std::cout << dp[0][m] <<"\n";
}             

int main(){ 
    std::ios::sync_with_stdio(false);    
    std::cin.tie(nullptr);

#ifdef LOCAL
    freopen("make.txt", "r", stdin);
    freopen("a.txt", "w", stdout);
#endif

    int T = 1;
    // std::cin >> T;
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0; 
}   
/* 

*/

18308 最长公共子序列

dp[i][j]dp[i][j]表示aa串前ii个字符和bb串前jj个字符的最长公共子序列长度

（下面aa和bb串索引均从00开始，dpdp数组索引从11开始）

讨论：

若a[i−1]=b[j−1]a[i-1]=b[j-1]，找到一个匹配字符，问题转化为aa串前i−1i-1个字符和bb串前j−1j-1个字符的最长公共子序列长度，dp[i][j]=dp[i−1][j−1]+1dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1

否则，考虑aa串前i−1i-1个字符和bb串前jj个字符的最长公共子序列长度，以及aa串前ii个字符和bb串前j−1j-1个字符的最长公共子序列长度

dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−1])+1dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1

  • 时间复杂度O(n×m)O(n \times m)
#include<bits/stdc++.h>

using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using i128 = __int128;
using u128 = unsigned __int128;
using pii = std::pair<int,int>;
using pll = std::pair<i64,i64>;
using pli = std::pair<i64,int>;
using pil = std::pair<int,i64>;
constexpr i64 INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
constexpr int inf = 0x3f3f3f3f;

void solve(){
    std::string a,b;
    std::cin >> a >> b;
    int m = a.size(), n = b.size();
    int ans = 0;
    std::vector<std::vector<int>>dp(m + 1, std::vector<int>(n + 1,0));
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            if(a[i - 1] == b[j - 1]){
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            }else{
                dp[i][j] = std::max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
            ans = std::max(ans, dp[i][j]);
        }
    }
    std::cout << ans << "\n";
}             

int main(){ 
    std::ios::sync_with_stdio(false);    
    std::cin.tie(nullptr);

#ifdef LOCAL
    freopen("make.txt", "r", stdin);
    freopen("a.txt", "w", stdout);
#endif

    int T = 1;
    // std::cin >> T;
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0; 
}   
/* 

*/
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