力扣解题-70. 爬楼梯

力扣解题-70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2

输出：2

解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3

输出：3

解释：有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示： 1 <= n <= 45

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记忆化、数学、动态规划

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第一次解答

解题思路

核心方法：动态规划空间优化版（滚动变量法），基于“斐波那契数列”的递推规律，通过两个滚动变量记录前两步的结果，避免创建dp数组，将空间复杂度从O(n)降至O(1)，时间复杂度保持O(n)，是本题的高效解法。

核心逻辑拆解

爬楼梯问题的核心是递推规律：

1. 递推公式推导：
   • 要爬到第n阶台阶，最后一步只能是：
     • 从第n-1阶爬1阶上来（有f(n-1)种方法）；
     • 从第n-2阶爬2阶上来（有f(n-2)种方法）；
   • 因此总方法数：f(n) = f(n-1) + f(n-2)；
2. 初始条件：
   • f(0)=1：爬0阶（原地不动）有1种方法（边界条件，用于推导f(2)）；
   • f(1)=1：爬1阶只有1种方法（直接爬1阶）；
3. 滚动变量优化：无需存储所有f(0)到f(n)的值，仅用两个变量记录f(n-2)和f(n-1)，迭代计算f(n)。

具体执行逻辑

1. 边界处理：若n<=1，直接返回1（f(0)=1、f(1)=1）；
2. 初始化滚动变量：
   • prev0 = 1：代表f(n-2)（初始为f(0)）；
   • prev1 = 1：代表f(n-1)（初始为f(1)）；
   • current = 0：存储当前计算的f(i)；
3. 迭代计算（从i=2到i=n）：
   • current = prev1 + prev0：计算f(i) = f(i-1) + f(i-2)；
   • prev0 = prev1：更新f(n-2)为原f(n-1)；
   • prev1 = current：更新f(n-1)为当前计算的f(i)；
4. 返回结果：迭代结束后，current即为f(n)。

执行流程可视化（以n=3为例）

迭代i	prev0（f(i-2)）	prev1（f(i-1)）	current（f(i)）	变量更新后
2	1（f(0)）	1（f(1)）	2（f(2)）	prev0=1、prev1=2
3	1（f(1)）	2（f(2)）	3（f(3)）	prev0=2、prev1=3
结束	-	-	3	返回3

关键细节说明

• 初始条件的合理性：f(0)=1是数学上的边界补充，目的是让f(2)=f(1)+f(0)=2符合实际（爬2阶有2种方法）；
• 循环范围：从i=2开始到i=n，覆盖所有需要递推的阶数；
• 变量更新顺序：先计算current，再更新prev0和prev1，避免覆盖未使用的旧值；
• 性能适配：n≤45时，int类型足够存储结果（f(45)=1836311903，未超出int范围）。

性能说明

• 时间复杂度：O(n)（仅需一次线性迭代）；
• 空间复杂度：O(1)（仅使用3个变量，无额外数组）；
• 优势：
  1. 空间效率最优，避免了dp数组的内存开销；
  2. 代码简洁，迭代逻辑清晰，无递归栈开销；
  3. 时间效率高，线性迭代无冗余计算。

public int climbStairs(int n) {
    if(n<=1){
        return 1;
    }
    int prev0=1;//f(0)->f(n-2)
    int prev1=1;//f(1)->f(n-1)
    int current=0;
    //重要的公式是 f(n)=f(n-1)+f(n-2)
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        current=prev1+prev0;//相当于f(2)=f(1)+f(0)
        prev0=prev1;//更新值 f(n-2)
        prev1=current;//更新值 f(n-1)
    }
    return current;
}

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示例解答

解题思路

解法1：标准动态规划法（直观版，O(n)时间+O(n)空间）

核心方法：创建dp数组存储每一步的结果，直接按递推公式填充数组，逻辑更直观，适合理解动态规划的核心思想。

代码实现

public int climbStairs(int n) {
    if (n <= 1) {
        return 1;
    }
    // dp[i] 表示爬i阶台阶的方法数
    int[] dp = new int[n + 1];
    // 初始条件
    dp[0] = 1;
    dp[1] = 1;
    // 递推填充数组
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}

核心逻辑说明

1. dp数组定义：dp[i]表示爬i阶台阶的方法数；
2. 初始条件：dp[0]=1、dp[1]=1，与滚动变量法一致；
3. 递推填充：从i=2到i=n，按dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]填充数组；
4. 结果返回：dp[n]即为最终答案。

性能说明

• 时间复杂度：O(n)（与滚动变量法一致）；
• 空间复杂度：O(n)（需要存储n+1个元素的数组）；
• 优势：
  1. 逻辑直观，完全贴合动态规划“状态定义-初始条件-状态转移”的经典范式；
  2. 便于调试，可查看每一步的dp值；
• 劣势：空间复杂度高于滚动变量法，n较大时（如n=1e5）内存开销更大。

解法2：递归+记忆化（Top-Down，O(n)时间+O(n)空间）

核心方法：通过递归实现递推公式，并用记忆化缓存避免重复计算，将纯递归的O(2ⁿ)时间复杂度优化至O(n)。

代码实现

public int climbStairs(int n) {
    // 记忆化缓存，存储已计算的f(i)
    int[] memo = new int[n + 1];
    return dfs(n, memo);
}

private int dfs(int n, int[] memo) {
    // 边界条件
    if (n <= 1) {
        return 1;
    }
    // 已计算过，直接返回缓存值
    if (memo[n] != 0) {
        return memo[n];
    }
    // 递归计算并缓存结果
    memo[n] = dfs(n - 1, memo) + dfs(n - 2, memo);
    return memo[n];
}

核心逻辑说明

1. 记忆化缓存：memo数组存储已计算的f(n)，避免重复递归计算（如计算f(5)时无需重复计算f(3)）；
2. 递归终止条件：n<=1时返回1；
3. 递归递推：dfs(n) = dfs(n-1) + dfs(n-2)，计算后存入memo；
4. 结果返回：递归结束后返回memo[n]。

性能说明

• 时间复杂度：O(n)（每个f(i)仅计算一次）；
• 空间复杂度：O(n)（递归栈深度+memo数组）；
• 优势：
  1. 符合“自顶向下”的解题思路，易于理解递推关系；
  2. 避免了纯递归的指数级时间复杂度；
• 劣势：
  1. 递归栈有额外开销，n=45时栈深度为45，无溢出风险但效率略低；
  2. 空间复杂度高于滚动变量法。

解法3：斐波那契公式法（最优时间，O(logn)）

核心方法：利用斐波那契数列的通项公式（比内公式），通过数学计算直接得到结果，时间复杂度优化至O(logn)（幂运算可通过快速幂实现）。

代码实现

public int climbStairs(int n) {
    double sqrt5 = Math.sqrt(5);
    // 斐波那契通项公式（比内公式）：F(n) = (φⁿ⁺¹ - ψⁿ⁺¹)/√5，其中φ=(1+√5)/2，ψ=(1-√5)/2
    double phi = (1 + sqrt5) / 2;
    double psi = (1 - sqrt5) / 2;
    // 本题中f(n)对应斐波那契数列的F(n+1)
    double result = (Math.pow(phi, n + 1) - Math.pow(psi, n + 1)) / sqrt5;
    return (int) Math.round(result);
}

核心逻辑说明

1. 数学推导：爬楼梯的f(n)等价于斐波那契数列的第n+1项（F(1)=1, F(2)=1, F(3)=2, F(4)=3...）；
2. 通项公式：利用比内公式直接计算斐波那契数，避免迭代/递归；
3. 精度处理：通过Math.round四舍五入，避免浮点数精度误差。

性能说明

• 时间复杂度：O(logn)（Math.pow的底层实现为快速幂，时间复杂度O(logn)）；
• 空间复杂度：O(1)（仅使用常数级变量）；
• 优势：
  1. 时间复杂度最优，n越大优势越明显；
  2. 无循环/递归，代码极简；
• 劣势：
  1. 依赖数学公式，不易理解和推导；
  2. 浮点数运算存在精度风险（n=45时结果正确，但n极大时可能误差）；
  3. 工程中可读性差，不如迭代法直观。

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总结

1. 滚动变量动态规划（第一次解答）：O(n)时间+O(1)空间，空间最优，工程实践首选；
2. 标准动态规划法：O(n)时间+O(n)空间，逻辑直观，适合理解动态规划思想；
3. 递归+记忆化：O(n)时间+O(n)空间，自顶向下解题，易于理解递推关系；
4. 斐波那契公式法：O(logn)时间+O(1)空间，数学最优解，适合追求极致效率的场景；
5. 关键技巧：
   • 核心思想：爬楼梯问题本质是斐波那契数列，核心递推公式为f(n)=f(n-1)+f(n-2)；
   • 优化方向：从标准DP（O(n)空间）→ 滚动变量（O(1)空间）→ 公式法（O(logn)时间）；
   • 场景选择：日常开发选滚动变量法，教学选标准DP/记忆化递归，极致效率选公式法。