从斐波那契到股票买卖，DP 入门到放弃（不，是精通）的快乐之旅！
大家好，我是你们的 DP 路人甲（不是那个甲骨文的甲），今天带大家从零开始征服力扣动态规划专题。别被“动态规划”这四个字吓到——它听起来像是某种高深算法黑话，其实本质就是：把大问题拆成小问题，用空间换时间，避免重复劳动。
而我们今天要做的，就是把这些“小问题”串起来，变成你刷题时的肌肉记忆！
🔥 为什么 DP 让人又爱又恨？
- 爱：一旦掌握套路，很多看似复杂的题目秒变送分题。
- 恨：状态转移方程写不出来、边界条件搞不清、dp 数组定义反了……
但别慌！DP 的核心就三步：
- 定义状态（dp[i] 或 dp[i][j] 到底代表啥？）
- 找出状态转移方程（怎么从前面的状态推出来当前状态？）
- 确定初始值和遍历顺序（别把背包问题写成完全背包！）
接下来，我们就用真实力扣题目 + 幽默解读，带你打通任督二脉！
🐣 第一关：DP 入门三件套
✅ 509. 斐波那契数（Fibonacci）
var fib = function(n) {
let db = []; db[0] = 0; db[1] = 1;
for(let i = 2; i <= n; i++) {
db[i] = db[i-1] + db[i-2];
}
return db[n];
};
解读：最经典的递推入门题。记住：别用递归！会爆栈！ 用数组存中间结果，效率拉满。
✅ 70. 爬楼梯
“每次可以爬 1 或 2 阶，问有多少种方法？”
var climbStairs = function(n) {
if (n <= 2) return n;
let prevPrev = 1, prev = 2;
for (let i = 3; i <= n; i++) {
[prevPrev, prev] = [prev, prev + prevPrev];
}
return prev;
};
幽默点：这题其实是斐波那契的“马甲”！爬楼梯 = 兔子生崽，懂了吧？
✅ 198. 打家劫舍
“不能偷相邻房子，求最大收益。”
dp[i] = Math.max(dp[i-2] + nums[i], dp[i-1]);
灵魂拷问：你是选择偷这家（加上前前家），还是放过这家（继承上一家的最大值）？
现实映射：人生也一样，有时候“跳过眼前诱惑”才能拿到更大蛋糕！
💰 第二关：背包问题全家桶
背包问题是 DP 的“黄埔军校”，掌握它，你就毕业了！
✅ 416. 分割等和子集（0-1 背包变形）
“能不能把数组分成两个和相等的子集？” → 能否装满 sum/2 的背包？
for (let j = sum/2; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
关键：逆序遍历！防止一个物品被重复使用。
✅ 518. 零钱兑换 II（完全背包）
“硬币无限，凑出 amount 有几种组合？”
for (let coin of coins)
for (let j = coin; j <= amount; j++)
dp[j] += dp[j - coin];
注意：这里是正序遍历！因为硬币能重复用。
💡 口诀：
- 0-1 背包：倒着来（防重复）
- 完全背包：正着走（允许多次）
✅ 474. 一和零（二维背包）
“最多 m 个 0 和 n 个 1，最多选几个字符串？”
for (let i = m; i >= zeros; i--)
for (let j = n; j >= ones; j--)
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-zeros][j-ones] + 1);
升级版背包：两个限制条件，照样拿下！
📈 第三关：股票买卖六重奏（DP 状态机）
股票题是 DP 的“天花板”，但套路惊人一致！
| 题号 | 特点 | 状态设计 |
|---|---|---|
| 121 | 只能交易一次 | dp[i][0/1] 持有/不持有 |
| 122 | 无限交易 | 贪心 or DP |
| 123 | 最多两次 | 5 个状态（0→1→2→3→4） |
| 188 | 最多 k 次 | buy[j], sell[j] |
| 309 | 含冷冻期 | 4 个状态（持/卖/冻/闲） |
| 714 | 含手续费 | 卖出时 -fee |
通用思路：
- 持有股票 = max(继续持有, 之前不持有 + 今天买入)
- 不持有股票 = max(继续空仓, 之前持有 + 今天卖出 - fee)
🤣 段子：
“我炒股亏了 50%，只要再涨 100% 就回本！”
—— DP 告诉你：别做梦了，先算清楚状态！
🧩 第四关：字符串 DP 大乱斗
✅ 1143. 最长公共子序列（LCS）
if (c1 === c2) dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
else dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
经典模板！后续好多题都是它的变种。
✅ 1035. 不相交的线
“画不交叉的连线” → 本质就是 LCS！
因为连线不交叉 ⇨ 相对顺序不变 ⇨ 子序列！
✅ 583. 两个字符串的删除操作
“最少删几次让两字符串相同？”
→ 总长度 - 2 × LCS 长度
✅ 72. 编辑距离
插入、删除、替换 → 三种操作取最小：
dp[i][j] = Math.min(
dp[i-1][j] + 1, // 删除
dp[i][j-1] + 1, // 插入
dp[i-1][j-1] + 1 // 替换
);
面试高频！建议背下来。
🏗️ 第五关：树形 & 区间 DP
✅ 337. 打家劫舍 III（树形 DP）
用后序遍历返回
[不偷, 偷]两种状态：
const DoNot = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);
const Do = node.val + left[0] + right[0];
精髓：孩子节点的状态决定父节点的选择。
✅ 516. 最长回文子序列
区间 DP 经典！从短区间推长区间：
if (s[i] === s[j]) dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
else dp[i][j] = Math.max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);
注意遍历顺序：
i从后往前，j从i+1开始！
🎯 总结：DP 刷题心法
- 识别题型：背包？序列？路径？状态机？
- 定义状态：问自己：“dp[i] 到底表示什么？”
- 写转移方程：分情况讨论（相等？不等？选 or 不选？）
- 初始化 + 遍历顺序：别搞反了！
- 空间优化（进阶）：滚动数组、只存必要状态。
🚀 最后送你一句 DP 真言：
“过去的状态，决定了现在的选择；现在的选择，影响未来的答案。”
—— 这不仅是 DP，也是人生啊！
✅ 附：本文覆盖的力扣题清单（共 36 题）
53, 70, 96, 115, 121, 122, 123, 139, 188, 198, 213, 279, 300, 309, 322, 337, 343, 377, 392, 416, 474, 494, 509, 516, 518, 583, 62, 63, 674, 714, 718, 72, 746, 1035, 1049, 1143
