力扣解题-69. x 的平方根
给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。
由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。
注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。
示例 1：
输入：x = 4
输出：2
示例 2：
输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
提示：
0 <= x <= 2³¹ - 1
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数学、二分查找
第一次解答
解题思路
核心方法：二分查找法（整数平方根最优解），利用“非负整数的平方根一定在[0, x]区间内”的特性，通过二分法缩小查找范围，避免暴力遍历，时间复杂度O(logx)，空间复杂度O(1)，是本题的最优解法。
核心逻辑拆解
求整数平方根的核心是“找最大的整数n，使得n² ≤ x”，二分查找的关键在于精准定义区间和终止条件：
- 初始化区间：左边界
left=0，右边界right=x（平方根不可能超过x本身）； - 二分循环条件：
left <= right（区间有效时继续查找）； - 计算中间值：
mid = left + (right - left)/2（避免left+right溢出）； - 判断中间值平方与x的关系：
- 用
long temp = (long)mid * mid存储平方值（避免int类型溢出，如mid=46340时，mid²=2147395600，超过int最大值2147483647）； - 若
temp == x：mid就是精确平方根，直接返回； - 若
temp < x：说明mid偏小，需增大左边界（left=mid+1）； - 若
temp > x：说明mid偏大，需减小右边界（right=mid-1）；
- 用
- 循环终止返回：循环结束时
left > right，此时right是最大的满足right² ≤ x的整数（即舍去小数的平方根）。
具体步骤（以示例2 x=8为例）
| 循环轮次 | left | right | mid | temp=mid² | 比较结果 | 边界调整 | 区间状态 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 8 | 4 | 16 | 16>8 | right=3 | [0,3] |
| 2 | 0 | 3 | 1 | 1 | 1<8 | left=2 | [2,3] |
| 3 | 2 | 3 | 2 | 4 | 4<8 | left=3 | [3,3] |
| 4 | 3 | 3 | 3 | 9 | 9>8 | right=2 | [3,2]（终止） |
循环终止，返回right=2，符合示例2的结果。 |
关键细节说明
- 避免溢出：必须将
mid*mid强转为long类型，否则当x接近2³¹-1时，mid的平方会超出int范围导致计算错误； - 终止返回right：循环结束时
left > right，right是最后一个满足right² ≤ x的数，例如x=8时，right=2（2²=4≤8），left=3（3²=9>8）； - 边界处理：x=0时，left=0、right=0，mid=0，直接返回0；x=1时，mid=1，temp=1==1，返回1。
性能说明
- 时间复杂度：O(logx)（二分查找的次数为以2为底x的对数，如x=2³¹-1时，仅需约31次循环）；
- 空间复杂度：O(1)（仅使用几个指针变量，无额外空间）；
- 优势：
- 效率远高于暴力遍历（暴力法O(x)），尤其适合大数值x；
- 原地操作，空间效率最优；
- 逻辑清晰，符合二分查找的经典范式，易理解和维护。
public int mySqrt(int x) {
int left=0;
int right=x;
while(left<=right){
int mid=left+(right-left)/2;
long temp=(long)mid*mid;
if(temp==x){
return mid;
}else if(temp<x){
left=mid+1;
}else {
right=mid-1;
}
}
return right;
}
示例解答
解题思路
解法1：牛顿迭代法（收敛更快，进阶解法）
核心方法：牛顿迭代法，利用数学迭代公式逼近平方根，收敛速度比二分查找更快（通常只需几次迭代），时间复杂度接近O(1)，空间复杂度O(1)，是工程中更高效的解法。
代码实现
public int mySqrt(int x) {
if (x == 0) {
return 0;
}
// 牛顿迭代初始值设为x，避免初始值过小导致收敛慢
long res = x;
// 迭代公式：res = (res + x/res) / 2
while (res * res > x) {
res = (res + x / res) / 2;
}
return (int) res;
}
核心逻辑说明
- 数学原理：求x的平方根等价于求解方程
n² = x，即f(n) = n² - x = 0，牛顿迭代法通过公式nₖ₊₁ = (nₖ + x/nₖ)/2不断逼近方程的根； - 迭代终止条件：当
res² ≤ x时，res即为最大的满足条件的整数； - 初始值选择：将初始值设为x，保证迭代过程单调递减且快速收敛；
- 溢出处理：使用
long类型存储res，避免乘法溢出。
执行流程（以x=8为例）
- 初始res=8：8²=64>8 → res=(8+8/8)/2=(8+1)/2=4；
- res=4：4²=16>8 → res=(4+8/4)/2=(4+2)/2=3；
- res=3：3²=9>8 → res=(3+8/3)/2=(3+2)/2=2；
- res=2：2²=4≤8 → 终止迭代，返回2。
优势说明
- 收敛速度极快：对于x=2³¹-1，仅需约5次迭代即可收敛，比二分查找的31次循环快得多；
- 代码更简洁：无需处理复杂的二分边界，逻辑更简洁；
- 工程实用性强：是各大数学库中平方根计算的底层实现方式。
解法2：暴力遍历法（直观但低效，仅作对比）
核心方法：暴力遍历法，从0开始逐个尝试，直到找到最大的n使得n² ≤ x，逻辑最直观但效率极低，仅适合理解问题本质。
代码实现
public int mySqrt(int x) {
if (x == 0 || x == 1) {
return x;
}
int res = 0;
// 遍历到x/2即可，因为当n>x/2时，n²>x（x≥2）
for (int i = 1; i <= x / 2; i++) {
// 避免i*i溢出，改用除法判断
if (i <= x / i && (i + 1) > x / (i + 1)) {
res = i;
break;
}
}
return res;
}
核心逻辑说明
- 优化遍历范围：遍历到x/2即可，因为对于x≥2，平方根一定≤x/2（如x=8，x/2=4，平方根2≤4）；
- 溢出避免：用
i <= x/i替代i*i <= x，避免int溢出； - 终止条件：找到第一个i，使得i≤x/i且i+1>x/(i+1)，即i是最大的满足条件的整数。
性能说明
- 时间复杂度：O(x)（最坏情况x=2³¹-1，需遍历约10⁹次，会超时）；
- 空间复杂度：O(1)；
- 劣势：效率极低，仅适合x较小的场景，实际工程中不推荐使用。
总结
- 二分查找法（第一次解答）：O(logx)时间+O(1)空间，逻辑经典、易理解，是本题的基础最优解；
- 牛顿迭代法：接近O(1)时间+O(1)空间，收敛更快，工程中更高效；
- 暴力遍历法：O(x)时间+O(1)空间，仅作理解参考，实际不推荐；
- 关键技巧：
- 核心思想：整数平方根的本质是“找最大的n满足n² ≤ x”；
- 溢出处理：必须用long存储平方值或改用除法判断，避免int溢出；
- 方法选择：优先选二分查找（易掌握）或牛顿迭代法（高效），拒绝暴力遍历。
