一句话结论
现在别再“系统看教材”了，
你要做的是：按题型抓重点 + 背套路 + 刷几道典型题，能拿大分。
一、先搞清楚：期末一般考什么？
根据很多学校的试卷和复习经验，大致就是几块：
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概念题 / 简答题
- 算法定义、特性、时间/空间复杂度概念
- 分治、动态规划、贪心、回溯、分支限界等“思想”和特点
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复杂度计算题（必考）
- 给一段代码或递推式，让你求时间复杂度（上界、下界、准确界）
- 常见：O、Ω、Θ、o、ω 这些符号的含义和判断
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递推方程求解（很多学校考）
- 形如 T(n) = aT(n/b) + f(n)，用主定理
- 二阶常系数递推方程（齐次 / 非齐次）解法
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算法设计题（重头）
- 用分治、动态规划、贪心、回溯、分支限界等解决一个经典问题
- 通常要求：
- 写算法思路
- 写伪代码
- 分析时间复杂度
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图算法题（部分学校必考）
- 最短路径（Dijkstra、Floyd）
- 最小生成树（Prim、Kruskal）
- 拓扑排序、关键路径等
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NP 完全理论（有的考，有的只考概念）
- P、NP、NP 完全、NP 难 的概念
- Cook 定理、常见 NP 完全问题（SAT、团问题、顶点覆盖、哈密顿回路、TSP 等）
二、复习路线图（按优先级）
用一个简单流程图帮你理一下复习顺序：
flowchart LR
A[列出你的考试题型] --> B{有没有大作业/报告?}
B -->|有| C[先按作业要求拿稳分]
B -->|没有| D[按题型抓重点]
C --> D
D --> E[复杂度计算 + 递推方程]
E --> F[分治/动态规划/贪心/回溯/分支限界]
F --> G[图算法]
G --> H[NP完全理论\n能背概念就不错]
下面给你一个时间分配建议（假设你只剩 1–2 天）：
- 复杂度计算 + 递推：3–4 小时
- 分治 / 动态规划 / 贪心 / 回溯 / 分支限界：4–5 小时
- 图算法：2–3 小时
- NP 完全概念：1 小时背一背
三、复杂度计算题：拿分必须稳
1. 渐近记号快速判断
记住几点（考试常考）：
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O：上界，表示“不超过这个量级”
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Ω：下界，表示“至少这个量级”
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Θ：确界，既是上界又是下界
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o：严格小于，比如 n = o(n²)
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ω：严格大于，比如 n² = ω(n) 做题时记住：
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若 f(n) = Θ(g(n))，则 f(n) = O(g(n)) 且 f(n) = Ω(g(n))
-
若 f(n) = o(g(n))，则 f(n) = O(g(n))
-
若 f(n) = ω(g(n))，则 f(n) = Ω(g(n))
2. 递推方程：主定理 + 二阶常系数
1）主定理（超级高频）：
形式：
T(n) = aT(n/b) + f(n)，a ≥ 1，b > 1
比较 f(n) 和 n^(log_b a) 的大小：
-
若 f(n) = O(n^(log_b a - ε))，有 ε > 0 → T(n) = Θ(n^(log_b a))
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若 f(n) = Θ(n^(log_b a * log^k n))，k ≥ 0 → T(n) = Θ(n^(log_b a) log^(k+1) n)
-
若 f(n) = Ω(n^(log_b a + ε))，有 ε > 0，且 a f(n/b) ≤ c f(n) → T(n) = Θ(f(n)) 2）二阶常系数递推（齐次 / 非齐次）： 步骤（齐次）：
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写出特征方程：r² = p r + q
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求出特征根 r1, r2
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若 r1 ≠ r2：f(n) = c1 r1ⁿ + c2 r2ⁿ
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若 r1 = r2：f(n) = (c1 + c2 n) rⁿ
-
用初始条件解出 c1, c2 非齐次：
在齐次通解基础上，再找一个特解（假设为多项式，代入比较系数），最后通解 = 齐次通解 + 特解。
四、几大设计技术：每种只抓 1–2 个经典问题
教材一般按这些技术组织：分治、动态规划、贪心、回溯、分支限界。
期末不会让你发明新算法，都是经典问题套方法。
1. 分治
核心三步：分解 → 解决 → 合并。 必须会：
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二分搜索（折半查找）
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归并排序、快速排序
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最大子段和（可用分治做）
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最近点对问题、第 k 小元素（选择问题） 复习建议：
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每个问题：
- 会写递归思路
- 会写时间复杂度：通常是递推 + 主定理
2. 动态规划（DP）
考试超级高频，抓住两个点：最优子结构 + 状态转移方程。 必须会：
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矩阵连乘问题
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最长公共子序列（LCS）
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0-1 背包问题
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最大子段和（也可以用 DP 做）
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最优二叉搜索树（有的学校考） 复习套路：
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先定义状态：dp[i] 或 dp[i][j] 表示什么
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写出状态转移方程（考试大题得分点）
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写边界条件
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给出伪代码
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分析时间复杂度（通常是填表 O(n²) 或 O(n³)）
3. 贪心
贪心能用的前提：贪心选择性质 + 最优子结构。 必须会：
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活动安排问题（按结束时间排序）
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最优装载（类似背包，物品可拆分）
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哈夫曼编码
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最小生成树：Prim、Kruskal
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单源最短路径：Dijkstra（注意不能有负权边） 注意：
贪心题常考证明或“为什么不能用贪心”，
如果你不会严格证明，考试时至少要能说清楚：
“每一步局部最优，最终能导致全局最优，可以证明。”
4. 回溯 & 分支限界
回溯 = 深度优先搜索 + 剪枝
分支限界 = 广度优先/最佳优先 + 剪枝。
典型问题：
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0-1 背包（回溯 / 分支限界）
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n 皇后问题
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图的 m 着色问题
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TSP（旅行商问题）
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装载问题、批处理作业调度等 复习重点：
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会画解空间树（子集树 / 排列树）
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会写约束函数和限界函数（剪枝条件）
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分析最坏时间复杂度（通常是指数级）
五、图算法：考得很固定
常见考点：
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最短路径
- Dijkstra：单源，无负权边，O(n²) 或 O((V+E)log V)
- Floyd：多源，O(n³)
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最小生成树
- Prim：适合稠密图
- Kruskal：适合稀疏图，用并查集判连通
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拓扑排序、关键路径（AOE 网） 复习建议：
- 每个算法：
- 思路 + 步骤
- 会手动模拟一个小例子
- 时间复杂度
六、NP 完全理论：至少能背概念
要求不必太高，能写对定义就不错：
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P：多项式时间可解的问题类
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NP：多项式时间可验证的问题类
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NP 完全：NP 中“最难”的一类问题，所有 NP 问题都可以多项式归约到它们
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NP 难：不一定是 NP，但至少和 NP 完全一样难 典型 NP 完全问题：
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SAT（可满足性问题）
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3-SAT
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团问题、顶点覆盖
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哈密顿回路、TSP 判定版本
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子集和问题等 考试常见问法：
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“证明一个问题是 NP 完全的基本思路是什么？”
答题要点：- 证明该问题在 NP 中
- 选一个已知 NP 完全问题，做多项式时间归约到该问题
七、最后给你一个“救命版”复习清单
按这个顺序过一遍，基本能覆盖大部分学校试卷：
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复杂度符号 + 简单判断题
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主定理 + 二阶递推方程（一定要亲手解 2–3 道）
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分治：二分、归并、快排、最大子段和
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动态规划：矩阵连乘、LCS、0-1 背包、最大子段和
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贪心：活动安排、哈夫曼、Prim/Kruskal、Dijkstra
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回溯/分支限界：0-1 背包、n 皇后
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图算法：最短路径、最小生成树、拓扑排序
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NP 完全：P/NP/NPC 概念 + 常见 NPC 问题名字
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