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基本介绍
为什么要有图？前面我们学了线性表和树，线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系，树也只能有一个直接前驱也就是父节点。当我们需要表示多对多的关系时，就用到了图。
图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。如下图所示：
图的常用概念：
顶点（vertex）边（edge）路径：比如从D->C的路径有：D->B->C、D->A->B->C无向图：顶点之间的连接没有方向。比如A-B，即可以是A->B，也可以是B->A有向图：顶点之间的连接有方向，比如A-B，只能是A->B，不能是B->A带权图：这种边带权值的图也叫网
图的表示方式
图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）、链表表示（邻接表）。
邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1....n个点。
邻接表
邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在，会造成空间的一定损失。
邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成。
入门案例
需求：代码实现如下图结构
思路分析
存储顶点String，使用 ArrayList。保存二维数组矩阵 int[][] edges
核心代码
private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点的集合
private int[][] edges; // 二维数组，存储图对应的邻接矩阵
private int numOfEdges; // 表示边的数目
private boolean[] isVisited; // 布尔数组，记录某个节点是否被访问过
...
/**
* 插入节点到顶点集合
*
* @param vertex
*/
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
/**
* 添加边到二维数组
*
* @param v1 表示第一个顶点的下标，即第几个顶点
* @param v2 表示第二个顶点的下标
* @param weight 权值
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
深度优先遍历
图遍历介绍
所谓图的遍历，就是对节点的访问。遍历这些结点需要特定策略，一般有两种访问策略：
- 深度优先遍历
- 广度优先遍历
基本思想
图的深度优先搜索（Depth First Searc，dfs）。基本思想：
- 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
- 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
- 深度优先搜索是一个递归的过程。
遍历算法步骤
- 访问初始结点v，并标记结点v为已访问
- 查找结点v的第一个邻接结点w
- 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续
- 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）
- 若w被访问过，查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3
核心代码
/**
* 深度优先遍历算法
*
* @param isVisited 布尔数组，记录某个节点是否被访问过
* @param i 第一次就是传入0
*/
public void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
// 首先我们访问该节点，输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
// 将当前节点设置为已访问
isVisited[i] = true;
// 查找节点i的第一个邻接节点 w
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) { // 如果邻接节点存在
// 如果w未被访问过，对w进行深度优先遍历递归。即把w当做另一个v
if (!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
// 如果w已经被访问过，则查找下一个邻接节点
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
/**
* 对 dfs 方法进行重载，遍历我们所有的节点，并进行 dfs 方法
*/
public void dfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
// 遍历所有节点，进行 dfs 回溯
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
//如果没访问过，再查找。如果访问过，就继续 for 循环下一个
if (!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
广度优先遍历
基本思想
图的广度优先搜索（Broad First Search，bfs）
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点。（其实就是先把自己能访问到的全部访问，然后按队列依次取他们能访问到并且未访问过的）
遍历算法步骤
-
访问初始结点v并标记结点v为已访问
-
结点 v 入 队列
-
当队列非空时，继续执行，否则算法结束
-
出队列，取得队头结点u
-
查找结点u的第一个邻接结点w
-
若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
- 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问
- 结点w入队列
- 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6
核心代码
/**
* 广度优先遍历算法
*
* @param isVisited 布尔数组，记录某个节点是否被访问过
* @param i 第一次就是传入0
*/
public void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u; // 表示队列的头节点对应下标
int w; // 邻接节点的下标
LinkedList queue = new LinkedList(); // 队列，记录节点访问的顺序
// 首先我们访问该节点，并且输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
// 将当前节点设置为已访问
isVisited[i] = true;
// 将节点加入队列
queue.addLast(i);
while (!queue.isEmpty()) {
// 取出队列的头节点下标
u = (Integer) queue.removeFirst();
// 得到第一个邻接节点的下标w
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) { // 如果邻接节点存在
if (!isVisited[w]) { // 如果w未被访问过
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
// 标记已经访问
isVisited[w] = true;
// 入队
queue.addLast(w);
}
// 以u为前驱节点，找w后面的下一个邻接节点
w = getNextNeighbor(u, w); // 广度优先体现在这里
}
}
}
/**
* 对 bfs 方法进行重载，遍历我们所有的节点，并进行 bfs 方法
*/
public void bfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
// 遍历所有节点，进行 dfs 回溯
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}
深度优先 VS 广度优先
- 深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7
- 广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8
图代码汇总
package com.datastructures.graph;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点的集合
private int[][] edges; // 二维数组，存储图对应的邻接矩阵
private int numOfEdges; // 表示边的数目
private boolean[] isVisited; // 布尔数组，记录某个节点是否被访问过
/**
* 构造器
*
* @param n 节点的个数
*/
public Graph(int n) {
// 初始化矩阵和顶点集合
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<>(n);
numOfEdges = 0;
}
/**
* 插入节点到顶点集合
*
* @param vertex
*/
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
/**
* 添加边到二维数组
*
* @param v1 表示第一个顶点的下标，即第几个顶点
* @param v2 表示第二个顶点的下标
* @param weight 权值
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
// 返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
// 返回节点i（下标）对应的数据。如：0返回A，1返回B，2返回C
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
// 得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
// 显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for (int[] link : edges) {
System.err.println(Arrays.toString(link));
}
}
// 返回节点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
/**
* 得到第一个邻接节点的下标（w）
*
* @param index 节点
* @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
/**
* 根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
*
* @param v1
* @param v2
* @return
*/
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
/**
* 深度优先遍历算法
*
* @param isVisited 布尔数组，记录某个节点是否被访问过
* @param i 第一次就是传入0
*/
public void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
// 首先我们访问该节点，输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
// 将当前节点设置为已访问
isVisited[i] = true;
// 查找节点i的第一个邻接节点 w
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) { // 如果邻接节点存在
// 如果w未被访问过，对w进行深度优先遍历递归。即把w当做另一个v
if (!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
// 如果w已经被访问过，则查找下一个邻接节点
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
/**
* 对 dfs 方法进行重载，遍历我们所有的节点，并进行 dfs 方法
*/
public void dfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
// 遍历所有节点，进行 dfs 回溯
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
//如果没访问过，再查找。如果访问过，就继续 for 循环下一个
if (!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
/**
* 广度优先遍历算法
*
* @param isVisited 布尔数组，记录某个节点是否被访问过
* @param i 第一次就是传入0
*/
public void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u; // 表示队列的头节点对应下标
int w; // 邻接节点的下标
LinkedList queue = new LinkedList(); // 队列，记录节点访问的顺序
// 首先我们访问该节点，并且输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
// 将当前节点设置为已访问
isVisited[i] = true;
// 将节点加入队列
queue.addLast(i);
while (!queue.isEmpty()) {
// 取出队列的头节点下标
u = (Integer) queue.removeFirst();
// 得到第一个邻接节点的下标w
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) { // 如果邻接节点存在
if (!isVisited[w]) { // 如果w未被访问过
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
// 标记已经访问
isVisited[w] = true;
// 入队
queue.addLast(w);
}
// 以u为前驱节点，找w后面的下一个邻接节点
w = getNextNeighbor(u, w); // 广度优先体现在这里
}
}
}
/**
* 对 bfs 方法进行重载，遍历我们所有的节点，并进行 bfs 方法
*/
public void bfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
// 遍历所有节点，进行 dfs 回溯
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}
}
package com.datastructures.graph;
public class GraphTest {
public static void main(String[] args) {
// 测试创建图
int n = 8; // 节点的个数
Graph graph = new Graph(n); // 创建图对象
// String vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
// for (String vertex : vertexs) {
// graph.insertVertex(vertex);
// }
// // 添加边
// graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
// graph.insertEdge(0, 2, 1); // A-C
// graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C
// graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C
// graph.insertEdge(1, 3, 1); // B-D
// graph.insertEdge(1, 4, 1); // B-E
String vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
for (String vertex : vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
// 更新边关系
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
// 显示邻接矩阵
graph.showGraph();
System.out.println("验证深度优先遍历");
// graph.dfs(); // A->B->C->D->E 1->2->4->8->5->3->6->7
System.out.println("\n验证广度优先遍历");
graph.bfs(); // A=>B=>C=>D=>E 1=>2=>3=>4=>5=>6=>7=>8
}
}
