【LeetCode Hot100 刷题日记（97/100）】69. 多数元素 —— Boyer-Moore 投票算法、数组、双指针、原地操作🗳️

📌 题目链接：169. 多数元素 - 力扣（LeetCode）

🔍 难度：简单 | 🏷️ 标签：数组、双指针、原地操作

⏱️ 目标时间复杂度：O(n)

💾 空间复杂度：O(1)

🧠 题目分析

给定一个大小为 n 的整型数组 nums，要求找出多数元素（Majority Element） —— 即在数组中出现次数 严格大于 ⌊n/2⌋ 的那个元素。

题目保证：

数组非空；
多数元素一定存在。

💡 关键洞察：
由于多数元素的出现次数 > n/2，意味着它在数量上“压倒性”地超过其他所有元素之和。这种特性使得我们可以设计出非常高效的算法，甚至无需额外空间！

🎯 核心算法及代码讲解：Boyer-Moore 投票算法 ✅

📘 算法背景

Boyer-Moore 投票算法（Boyer–Moore Majority Vote Algorithm）由 Robert S. Boyer 和 J Strother Moore 于 1981 年提出，专门用于在线性时间、常数空间内找出数组中的多数元素（前提是多数元素存在）。

✅ 面试高频考点！这是少数能在 O(1) 空间下解决“众数”问题的经典算法，常被用于考察候选人对“抵消思想”和“状态维护”的理解。

🧩 核心思想：“同归于尽” + “最后幸存者即为答案”

将多数元素视为“正军”，其他元素视为“敌军”。
每当遇到一个与当前候选者相同的元素，就“增兵”（count++）；
遇到不同元素，则“两败俱伤”（count--）；
当 count 归零，说明当前候选者已被“消灭”，换下一个元素作为新候选者。

由于多数元素数量 > n/2，最终剩下的候选者必然是多数元素。

📜 算法步骤（C++ 行注释版）

class Solution {
public:
    int majorityElement(vector<int>& nums) {
        int candidate = -1;  // 初始化候选多数元素（任意值均可）
        int count = 0;       // 计数器，记录当前候选者的“净优势”

        for (int num : nums) {
            if (num == candidate)
                ++count;                 // 遇到相同元素，支持者+1
            else if (--count < 0) {      // 遇到不同元素，先抵消（count--），若归零或负
                candidate = num;         // 则更换候选者为当前元素
                count = 1;               // 新候选者初始支持数为1
            }
        }
        return candidate;  // 最终 candidate 即为多数元素
    }
};

🔍 注意：else if (--count < 0) 是关键写法！
先执行 count = count - 1，再判断是否 < 0。若为真，说明当前候选者已无“净支持”，需更换。

❓ 为什么这个算法正确？

我们用数学归纳法 + 抵消模型来理解：

假设多数元素为 M，出现 k > n/2 次；
其他所有元素总和 < n/2；
在遍历过程中，每一对 (M, 非M) 可以相互抵消；
由于 M 的数量 > 非M 总数，M 必然无法被完全抵消；
因此，最后剩下的候选者只能是 M。

🎓 进阶思考：该算法能否用于找“出现超过 n/3 次”的元素？
→ 可以！但需要维护两个候选者（因为最多有两个元素满足 > n/3）。这就是 “扩展 Boyer-Moore”，见 LeetCode 229 题。

🧭 解题思路（分步拆解）

明确问题约束：多数元素存在且唯一，出现次数 > n/2。
排除暴力法：O(n²) 时间不可接受。
考虑哈希表：O(n) 时间 + O(n) 空间，可行但不满足进阶要求。
考虑排序：O(n log n) 时间，中位数即答案，但时间不够优。
想到“抵消”策略：利用多数元素的“数量优势”，设计 O(n) + O(1) 算法。
实现 Boyer-Moore 投票：维护候选者与计数器，一次遍历完成。

📊 算法分析

方法	时间复杂度	空间复杂度	是否满足进阶要求
暴力枚举	O(n²)	O(1)	❌
哈希表	O(n)	O(n)	❌
排序	O(n log n)	O(log n)（递归栈）	❌
随机化	期望 O(n)	O(1)	✅（但有随机性）
分治	O(n log n)	O(log n)	❌
Boyer-Moore 投票	O(n)	O(1)	✅✅✅

✅ Boyer-Moore 是唯一同时满足 O(n) 时间 + O(1) 空间的确定性算法！

💻 完整代码

C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

class Solution {
public:
    int majorityElement(vector<int>& nums) {
        int candidate = -1;
        int count = 0;
        for (int num : nums) {
            if (num == candidate)
                ++count;
            else if (--count < 0) {
                candidate = num;
                count = 1;
            }
        }
        return candidate;
    }
};

// 测试
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);

    Solution sol;
    vector<int> nums1 = {3, 2, 3};
    cout << sol.majorityElement(nums1) << "\n"; // 输出: 3

    vector<int> nums2 = {2, 2, 1, 1, 1, 2, 2};
    cout << sol.majorityElement(nums2) << "\n"; // 输出: 2

    return 0;
}

JavaScript

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var majorityElement = function(nums) {
    let candidate = -1;
    let count = 0;
    for (const num of nums) {
        if (num === candidate) {
            count++;
        } else if (--count < 0) {
            candidate = num;
            count = 1;
        }
    }
    return candidate;
};

// 测试
console.log(majorityElement([3, 2, 3])); // 3
console.log(majorityElement([2, 2, 1, 1, 1, 2, 2])); // 2

🌟 本期完结，下期见！🔥

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