研究人员开发了一种新方法，能够帮助数学家利用人工智能技术，应对数学、物理学和工程学中长期存在的挑战。
几个世纪以来，数学家们创建了复杂的方程来描述流体动力学中的基础物理原理。这些定律支配着从飓风的旋转涡旋到抬升飞机机翼的气流等现象。
专家们可以精心设计一些让理论与实际相悖的场景，从而产生一些在物理上永远不可能发生的情况。这些情况，例如速度或压力等物理量变得无穷大时，被称为“奇点”或“爆破解”。它们能帮助数学家识别流体动力学方程中的基本局限性，并加深对物理世界运行方式的理解。
在一篇新发表的论文中，研究人员为描述流体运动的一些最复杂的方程引入了一个全新的“爆破解”数学家族。这项工作是某机构与布朗大学、纽约大学和斯坦福大学等机构的数学家和地球物理学家合作完成的。
该方法提出了一种利用AI技术应对数学、物理和工程学中长期挑战的新途径，这些挑战对前所未有的精度和可解释性提出了要求。
不稳定奇点的重要性
稳定性是奇点形成的一个关键方面。如果一个奇点能抵抗微小的改变，那它就是稳定的。反之，不稳定的奇点则需要极其精确的条件才会形成。
据推测，不稳定的奇点在流体动力学的基础性问题中扮演着重要角色，因为数学家们认为，对于复杂的无边界3D欧拉方程和纳维-斯托克斯方程来说，不存在稳定的奇点。寻找纳维-斯托克斯方程的解是否存在奇点，是七个尚未解决的“千禧年大奖难题”之一。
通过新颖的AI方法，研究人员首次在三个不同的流体方程中系统地发现了一系列新的不稳定奇点家族。他们还观察到了一个随着解变得越来越不稳定而显现的模式。描述爆裂速度的参数λ，可以按照不稳定性阶数（即解偏离爆裂状态的独特方式的数量）绘制成图。在被研究的两个方程——不可压缩多孔介质（IPM）方程和布辛尼斯克方程中，都能观察到这个模式。这表明存在更多不稳定的解，其假设的λ值位于同一条直线上。
[一个折线图显示了在发现越来越不稳定的解时，代表爆裂速度的关键参数λ呈现出惊人清晰的模式。这个模式在不可压缩多孔介质（IPM）方程和布辛尼斯克方程中都很明显。]
研究人员通过结合使用机器学习技术（如用于训练神经网络的二阶优化器）发现了这些奇点。这些方法使得计算精度提升到了前所未有的水平。作为参考，处理后的最大误差，相当于预测地球直径时误差仅为几厘米。
下图展示了所研究的一个方程中发现的涡量场（Ω）。涡量是衡量流体在每个点上旋转程度的物理量。
[一个三维表示和二维涡量（Ω）场的可视化图，针对所研究的一个方程得出。]
研究人员还展示了沿着一个轴通过同一场的一维切片，显示了所有已发现的不稳定性，展现了越来越不稳定的奇点的演化过程。
[另一个三维表示和二维涡量（Ω）场的可视化图，针对所研究的一个方程得出。]
探索奇点广阔领域的新方法
该方法基于物理信息神经网络（PINNs）的应用。与从海量数据集中学习的传统神经网络不同，模型被训练为匹配模拟物理定律的方程。网络的输出会不断与物理方程的预期结果进行比对，并通过最小化其“残差”（即解不满足方程的程度）来学习。
通过嵌入数学见解并实现极高精度，研究将PINNs转变为一种能够发现难以捉摸的奇点的探索工具。
——Yongji Wang，该研究第一作者，纽约大学博士后研究员
对PINNs的使用超越了它们作为求解偏微分方程（PDEs）的通用工具的传统角色。通过将数学见解直接嵌入到训练过程中，能够捕捉到那些长期以来困扰传统方法的、难以捉摸的解——例如不稳定的奇点。同时，研究开发了一个高精度框架，将PINNs的精度推至接近机器极限，从而达到了进行严格计算机辅助证明所需的精度水平。
计算机辅助数学的新时代
这项突破代表了一种数学研究的新方式，它将深刻的数学见解与尖端的AI技术结合在一起。研究团队很高兴这项工作能够推动一个新时代的到来，在这个时代里，长期存在的挑战将借助AI和计算机辅助证明来攻克。
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致谢
这项工作由以下人员共同完成：Yongji Wang, Mehdi Bennani, James Martens, Sébastien Racanière, Sam Blackwell, Alex Matthews, Stanislav Nikolov, Gonzalo Cao-Labora, Daniel S. Park, Martin Arjovsky, Daniel Worrall, Chongli Qin, Ferran Alet, Borislav Kozlovskii, Nenad Tomašev, Alex Davies, Pushmeet Kohli，以及Tristan Buckmaster, Bogdan Georgiev, Javier Gómez-Serrano, Ray Jiang, Ching-Yao Lai。FINISHED
