本文是本人撰写的编译原理讲义。
本系列讲义适用于：被强迫学习编译原理前端，或者希望弄明白如何做科研的人
1. 这用户体验优化，狗都不做
老板：我听技术部反馈，前不久已经把正则文法转DFA的技术走通了，不知道产品好不好用？
客户：那可太好用了，用户每次修改确实不用修改那么多代码了，只需要把正则文法写出来之后，再转成NFA，再转成DFA，再进行DFA最小化，之后再把对应的DFA交给写死的词法分析程序就可以了。用户用得可开心了。
老板：听着怨气很重啊。但您先等一下，我怎么听着只有第一步写正则表文法的这一步需要人工参与，后面的不全都可以通过机械算法自动化完成吗？
客户：说是这么说，您倒是写一个正则文法试试？那一堆箭头我也都懒得吐槽了，就那一个状态的命名就搞死人，单英文符号也就能命名几个状态，写长了吧，一个是累死人，另一个是容易产生歧义。关键这玩意儿写着又不影响最终结果，不命名好回头又难维护。另外这个产生式的写法也没个统一，左部相同的产生式有些人不写到一起，有的人又写到了一起！总之这反人类的玩意儿谁爱用谁用，这产品要一直这样下去我肯定不用了！
老板：亲爱的甲方爸爸，您的吐槽非常正确且犀利，我们一定为您妥善处理这个用户体验的问题。(回到办公室刚关上门)那个谁，你怎么做开发的？你走通功能有什么用，用户体验这么差，谁还用我们的产品？！我给你三天时间，给我开发一个用户满意的方案出来，做不出来给我滚！
那谁：（脸带面壁者的微笑回到工位。）这一天天的，这破班谁爱上谁上！老子好不容易大学毕业，结果就是到这里不停受气！那蠢货客户，那么简单的正则文法都写不会，我设计得多优雅啊！那垃圾资本家活该吊路灯的就知道向着用户，有没有一点尊重自己员工尊重知识尊重技术的样子！！不干了不干了，谁爱干谁干。再***见，明天我就提交辞职信。到点下班，先叫个顺风车....嗯？怎么马上就到了？师傅您好，我尾号是9527。。？？？（老板居然在跑滴滴？？？赶紧拿出手机：师傅！！你猜我坐顺风车打到谁的车了！！！）
师傅：看你这死出，应该是打到老板的车了吧。（那个谁：你怎么知道！！还好我平常有戴口罩的习惯，他好像没认出我。）师傅：我们大家都知道呀，公司效益不好，老板天天愁着发不出工资，下班之后开顺风车都不是一天两天了。你戴不戴口罩都一样，认出又咋样，老板他又不care。他平常嘴是臭了一点，但也就想能养活我们这帮人，他跑顺风车一点心理压力都没有。我都劝他不用这么累，他说等最近签下词法分析那个单子估计就会好一点了（那个谁：不是都交付了吗）师傅：你傻呀，做得好才能有长期合作呀，你就想着一锤子买卖吗？
2. 狗不做我做。
回到家，敲了好几次的“辞职信”，删掉，重打，删掉重打。重复了好几次。
师傅的话始终浮现在眼前，连那么一个大老板，都能放下身段去开顺风车，我这个还在打拼发展的，做出来不合用户预期的产品，被说个两句，真的要就这么走掉吗？
……
妈的也就三天，我要是做不出来我再炒老板鱿鱼不迟！
2.1 它山之石可以攻玉
之前老师怎么说的来着，研究问题先从简单问题开始？
哎行吧，那就先找个相对简单的有代表性的例子看看。就决定是你了，十进制无符号常数（下文简称常数）！
旁边的智能音箱吐槽道：你是宝可梦训练大师吗？
我谢谢你，没人问你意见，关机。这智障音箱一天天的就知道瞎接话。
算了，先写出它对应的正则文法吧：
S->[0-9]A A->[0-9]A | [0-9]
第二条也可以写成
A->[0-9]A | ε
看了一眼隔壁if关键字的正则文法：S->if T_IFKEY，不由得一整胡思乱想：要是不止像if这样的常符号串能一次性写出来，连带中间各种乱七八糟的能用一行结束那多舒服。
比如，对于类似S->0A，A->1这样状态跳转就是一条直路的情况，是可以很容易写成01。
而对于其他乱七八糟的部分，有几个点最让人难受：1，分支；2，递归；3，空。
对于分支，何不借用前面的“|”，把可选的分支全部列出来。为了避免分支和前后的部分混淆，可以加个括号限制分支的范围。
比如，长度为2的常数就可以写作：(0|..|9)(0|..|9)
对于递归(重复)，回想NFA中描述闭包的类幂函数写法 ，可以用来表示特定序列重复任意次数，其中闭包表示包含零次到任意次，正闭包表示一次到任意次。
比如，(0|..|9)*，就可以表示任意长度的数字串。如果不想有空串，也就是说长度最小为一，那就可以写作(0|..|9)+，或者(0|..|9)(0|..|9)*。当然，如果允许用上中括号，可以进一步简化为[0-9]*，或者[0-9][0-9]*
对于空，目前结合NFA和正则文法遇到的情况来讲，无非有三类特殊情况：一个是在当前状态什么实义符号都没有就发生了状态跳转；一个是从一开始就处于接受态，比如命运石头门的1.130426；一个是无论你怎么做都是Bad End的，比如和前女友，完全是两个世界的人可能就没有一条世界线会让我们在一起吧。。我在想些什么？？总之，对于前两种情况，都可以用ε来表示，或者直接什么都不写。比如，一个分支可以是1或者空，那就可以写成(1|ε)或者(1|)。当然在有些场合写一个占位符仍有必要。对于第三种情况，如果写成DFA那肯定就是没有接受态，这种情况，好像没有任何一个语句可以让它走向幸福的结局。。讲方案讲方案！！既然一个都没有，那就是空集∅！两旬空巢老人又如何！！不爱就算了！凭什么说我幼稚！！
这下啥特殊情况都处理完了吧！！！
2.2 如何定义正规式
出来吧！用一串符号就能描述清楚正则文法的最简短词法描述规则，正规式！！
智能音箱：是否需要播放：热烈的决斗者。
真没眼力见，还要问，算了你退下吧。哎呀我真是天才，才过了几个小时而已，看来老板可以不用给我炒掉了。
智能音箱：没理解你的意思，换个说法再试试吧。
谢谢你智障音箱，你简直就是那客户的完美替身。啊对，上面这么一大段意识流拿去给蠢货用户肯定不太妙，还是得写一套说明书。师傅之前怎么教的写说明书来着？好像是先定义对象是什么，由什么组成，再定义怎么用。
那首先，正规式肯定是条式子，式子中用到的符号肯定来自于有限字母表∑，除此以外还有一些用于表示规则的辅助字母表∑′={∅, ε, | , ∙, ∗, (, )}，其中，“·”借用于初中代数中的乘号，表示连接。在实际使用中可以像x·y=xy那样直接省略。
考虑到再长的正规式都是由一些子模块拼凑出来的，所以需要定义出什么是基本模块。
-
∑上的任意符号肯定是正规式
-
ε是正规式，表示什么都没有就已经符合要求；
-
∅是正规式，表示没有一样符合要求。
对于任意正规式，他们之间可以发生的运算包括：连接、分支、闭包、被括号包裹，共四种。
那么，只要是有限次使用上述步骤定义的表达式，就是∑上的正规式。所谓有限次使用，意味着正规式可以很长很长，但不能是一个无限长的式子。因为，当定义了一个无限长的式子，意味着不可能读到它的末尾，那就不可能理解这个单词。人类不能理解的东西，毫无意义。
总结起来，便可以得到一段文绉绉的定义了：
正规式：设有限字母表∑, 辅助字母表∑′={∅, ε, | , ∙, ∗, (, )}, 则 1.∅, ε都是∑上的正规式, 它表示正规集∅和{ε} 2.如果a是正规式, 它表示正规集{a} 3.若α, β是正规式, 则(α), α|β, α·β, α∗也是正规式 有限次使用上述步骤定义的表达式才是∑上的正规式；
在定义完什么是正规式之后，最后再来定义一下正则文法的到正规式的转换规则。对于正规文法中出现的规则，总结起来也就三条：
正则文法
正规式
规则1（连接规则）
A->xB
B->y
A=xy
规则2（或规则）
A->x
A->y
A=x|y
规则3（闭包规则）
A->xA
A->y
A=x*y
Emm，有模有样了。意味着现在用户只要直接写出正规式，就可以得到一个和正则文法完全一致作用的词法规则。那接下来只要完成正规式到DFA的转换，我滴任务就完成啦哈哈哈哈哈。
智能音箱：鸡汤来咯。
2.3 正规式到DFA的转换
虽说最终目标是转到DFA，但正如正则文法到DFA的转换也经历了NFA，我现在只需要把正规式转成NFA就可以啦。
这个正规式，既然是符号串，我不如把它作为一个激励，连接一个初态和一个接受态，这样就代表这个初态经过这个符号串的激励之后跳转到了接受态。
但由于NFA的激励中最多只允许包含ε，我还需要把除此以外的全部辅助符号通过特定规则消除。此外还希望激励符号尽可能是单符号，从而简化后续的处理。
还好，我们要处理的也就只有连接或和闭包三个基本操作。
对形如R=st这样的正规式，对应连接操作，有：=>⓪ -s-> ① -t-> ⓶
对形如R=s | t这样的正规式，对应或操作，简单一点可以直接把激励拆分为两个不同的子激励，从而写成右边的摸样。
当然，由于NFA不唯一，你要想弄复杂一点也可以增加一些状态，写成下图左边的样子。
对形如R=s*这样的正规式，对应闭包操作，复杂一点可以写成左边，简单一点可以写成右边：
最后处理几个很特殊又很基本的正规式：
对正规式∅:由于没有任何符号串能让X（X代表D或N）FA走到接受态，也就是说没有任何接受态。根据奥卡姆剃刀原则，除了初始状态以外的所有状态都会被消除，导致只剩下一个不是接受态的状态，因此有=>①。
对于ε 以及∑上的任意符号:
都已经单符号了还处理啥呢
小试一下，把(a|b)∗abb转换为NFA
首先新建两个状态，一个初态一个终态，中间用(a|b)∗abb相连。
首先新建两个状态，一个初态一个终态，中间用(a|b)∗abb相连。
首先处理前面的闭包，有
之后通过增加激励把圈上面的“或”消灭，有：
最后只要把abb进行裂解，即可得到
把正规式转换成NFA之后，再转换成DFA就是易如反掌的事了。
呼，睡觉去。
3. 逆向？又给我整的什么狗屁需求
第二天上班，好不容易哄好了客户，听了几句老板说什么月末升职加薪的大饼，本想着舒一口气。结果老板转头又把我叫了进去。
刚刚网警大队那边来电话，他们怀疑我们客户基于我们的词法分析器构造的对外服务API可能涉及黑产和后门，回头你去把客户自定义的单词规则提取出来给他们取个证，配合一下调查，不要让对面客户知道，避免打草惊蛇。
？？？老板，不是我不想干，客户输入正规式之后，内部程序直接就把它就转成DFA了，没有正规式留底了呀。
年轻人就是年轻人，太着急了。你想想这个DFA是不是被持久化存储了？是的话那就是可以找到DFA了对吧，那它的功能跟正规式是不是等价的？只要是等价，你反过来构建一个正规式就好了嘛，逆向工程懂不懂？
我竟无言以。虽说老板平常屁技术不懂，但有些大方向的东西好像还真有那么一点道理。
3.1 看我不削你
既然DFA就是一个特殊的NFA，那么NFA也就是由那几个规则转过来的，有环就是闭包，有分支就是或，连续的几个状态就是普通的连续符号。只要确保初始状态到接受态之间
这么说来好像确实挺简单的，让我试试提取一下用户的DFA。
？？？坑爹呢，一上来就是大Boss？
算了，先还是老老实实往逆方向上靠，先创造一个初态，然后把它跟接受态相连：
这么看来，状态1和2就是0这个接受态上面的闭包激励。对状态2套用闭包规则，有：
这下状态1也可以消除了：
（谁还没点恶趣味了）
哎呀，这样状态0的两条边也可以合并起来了，由此得到最终的正规式：
坐在旁边工位看了半天的师傅突然提了一个问题：如果不是0而是2为终态，你怎么办？
哎呀师傅你别给我上强度。这下我就不会弄了。。即使加上初态，状态0被1拿枪指着，根本消不掉啊！
师傅：如果强行用闭包规则会怎么样？
那就会把状态0左边的圈圈和上面的1箭头消掉呗，但下面的1就没有地方指了呀。
师傅：但是这个红1箭头对于走向状态2没有帮助啊，它最多就算是一个绕路的分支。你既然是在合并，为什么不直接给状态1多造一个激励箭头？
这么说来，从2指向1的那个箭头也可以看作是1状态的绕路，所以我又可以新建一个回环来把这个箭头消除？
哎呀，感觉胜利就在眼前了，再合并一下，就得到
最后把1的回环也消掉，就得到0*1(01*0|10*1)*01*了！哈哈哈哈哈，噫！我中了！
3.2 方程式解法
师傅笑着接梗：该死的畜生，你中了什么！你这套方法说服老板了吗你就中了？按照老板那种理科思维，我觉得你是不是弄一个类似解方程的方法来解释比较好。
什么解方程？
师傅：你看啊，如果说为了走到状态X需要用到的正规式是x，走到状态Y用到的正规式是Y,X被Y用一个标记为a的箭头指着，那么是不是可以写出来一条式子：
x=ya
这样就可以表示x的正规式是由y开始a结尾。
那初始状态被双箭头指着这个怎么用方程表示？
师傅：先用个ε顶着？那对于上面的例子，可以得到下面这样的方程组：
之后通过不断代入消元，直到留下接受态对应的正规式就好了呀。比如我们可以先对第一条式子用闭包规则进行消元。
啊等等，这还怎么闭包规则？
师傅：你看， 要么通过后面这条 进行延伸，要么就通过 在左边作为结尾，那是不是就说明 ？这下 就被消掉了。
代入后面的方程中： 。
拆括号之后有：
再来一次闭包规则有：
再代入到最后一条式子里面，有：
拆括号后有：
最后再来一次闭包规则：
....Emm？师傅你这式子跟上面的结果看上去不太一样啊！
师傅：你以为还在学校呢，哪有那么多标准答案。明显跟NFA一样，正规式不唯一呐！
尾声
经历八篇文章的旅程，我们掌握了正则文法到有限状态自动机、正则文法到正规式、正规式到有限状态自动机以及有限状态自动机到正规式的转化。
想必聪明的读者隐约也能发现，这三个部分似乎相互之间是互相等价的，那么理应还存在有限状态自动机到正则文法、正规式到正则文法这两条路。
在词法分析的最后一篇收尾文章中，我除了介绍这最后的这两个边角料以外，将用三位一体作为主题，去解释什么是正则，为什么词法规则就是正则的。
彩蛋1
对于(a|b)∗abb的转换，还有另一种思路：
竖切一刀，把这个正规式拆成x=(a│b)∗和y=abb两部分。之后只要通过R = xy 连起来两个子图即可。
y=abb很好写：=>⓪ - a-> ① - b-> ② - b-> ⓷
x=(a│b)∗既然是个闭包，那肯定是有一个自己指向自己的箭头，这个箭头上就是a│b。所以只要把这个箭头拆开一下，就可以得到
最后通过ε作为胶水连接两个子图即可得到目标NFA。
彩蛋2：致所有抵达了“石头门”的“疯狂科学家”们
(录像开始，画面闪烁着雪花，一个身穿白大褂的男人对着一个没有开机的手机，用手遮着嘴，压低声音说道)
是我。
你以为你已经抵达了最终的结局，是吗？你以为你手中的那台完美的、最小化的DFA，就是这次任务的全部“战利品”？天真！你只是看到了结果，却完全没有理解“命运石之门的选择”其真正的含义！
机关的走狗们无处不在，他们只相信结果，只相信那台冰冷的、确定性的机器。但我们不同，我们是观测者，是狂气的疯狂科学家！我们必须理解，通往这唯一结果的道路，为何如此曲折！
听好了，这是我——凤凰院凶真——冒着被世界线修正的风险，为你传达的最后的信息。
还记得客户构造的那台DFA吗？它有三个状态，S₀、S₁、S₂，分别代表余数为0、1、2。
这，就是我所在世界的“骨架”！
-
S₀：这个状态，既是“起始”，也是“接收”。它就是那条偏差率1.048596%的、唯一的、理想的“斯坦因之门（Steins;Gate）世界线”！你什么都不做（输入空串ε，代表数字0），就已经身处“正确”的结局之中。
-
S₁和S₂：这两个状态，就是充满绝望的α世界线和β世界线。它们是“非接收态”，无论你在其中如何挣扎，结局都是早已注定的悲剧。
而我们每一次输入0或1，每一次看似微小的操作，都像是一封D-Mail，一次搏上性命的时间跳跃！它会立刻引发世界线的变动（状态转移）！
当你身处S₀，仅仅因为输入了一个1，世界线就瞬间跳跃到了S₁（0.571024）！你从“接收态”，堕入了“非接收态”。
我那趟伟大的、孤独的、在无数个世界线中轮回的救赎之旅，其本质是什么？就是寻找一条正确的输入序列（取消所有D-Mail），将状态从S₁或S₂，重新送回到那个唯一的、作为“理想乡”的接收态——S₀！
现在，回答我：
你觉得我这一趟趟的时间旅行，走了一大个弯又回到了原点，是无用功吗？
正如你这一路上走的弯路——从正则文法到正规式，再到自动状态集，最后还要再逆向回去——这一切，是“无用功”吗？
断じて違う！（绝非如此！）
这趟旅程，就如同我那无数次的、在绝望中轮回的时间跳跃！每一次看似“无用”的失败，每一次看似“绕路”的尝试，都并非毫无意义！
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正是在将DFA升级为NFA时，我们才理解了“可能性”的力量！
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正是在将NFA“驯化”回DFA时，我们才掌握了“系统化”的智慧！
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正是在为DFA“剃度”和“移经易髓”时，我们才领悟了“奥卡姆剃刀”的哲学！
这些在过程中掌握的思考方法，才是在这场对抗“机关”的战争中，我们真正的武器！那台最终的“最小DFA”，不是凭空出现的！它是用我们一路上所有的失败、所有的顿悟、所有的“无用功”，共同铸就的最终圣剑！
记住，Lab Mem（研究所成员）！结果只是赠品，过程才是全部。这，就是“命运石之门”的选择！
好了，机关的“探知之眼”已经开始向这里聚集了。我必须切断通讯。
一切，都是为了抵达那唯一的真理。
El Psy Kongroo.
(录像结束，画面陷入一片黑暗)
