📌 题目链接：279. 完全平方数 - 力扣（LeetCode）
🔍 难度：中等 | 🏷️ 标签：动态规划、数学、完全平方数、四平方和定理
⏱️ 目标时间复杂度：O(n√n)（DP）或 O(√n)（数学法）
💾 空间复杂度：O(n)（DP）或 O(1)（数学法）
在 LeetCode 的经典题目 279. 完全平方数 中，我们被要求找出“和为 n 的完全平方数的最少数量”。这道题看似简单，却蕴含了两种截然不同的解题哲学：动态规划的通用性 与 数学定理的优雅性。无论你是准备面试还是夯实算法基础，这道题都值得你深入掌握。
🔗 题目链接
🔍 题目分析
给定一个正整数 n，我们需要将其表示为若干个完全平方数（如 1, 4, 9, 16...）之和，并使得所用的完全平方数数量最少。
例如：
n = 12→4 + 4 + 4→ 最少 3 个n = 13→4 + 9→ 最少 2 个
关键点：
- 不要求平方数互不相同；
- 要求最少数量，而非所有组合；
n的范围是1 ≤ n ≤ 10⁴，适合使用 DP 或数学优化。
⚙️ 核心算法及代码讲解
本题有两种主流解法：
✅ 方法一：动态规划（通用、易理解、面试高频）
思路核心
定义 f[i] 表示组成数字 i 所需的最少完全平方数个数。
状态转移方程：
f[i] = min{ f[i - j²] } + 1 ，其中 j² ≤ i
边界条件：f[0] = 0（虽然 0 不能由正平方数组成，但作为递推起点必须设为 0）
代码详解（C++）
vector<int> f(n + 1); // f[i] 表示和为 i 的最少平方数个数
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int minn = INT_MAX; // 初始化当前最小值为无穷大
for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 枚举所有可能的平方数 j²
minn = min(minn, f[i - j * j]); // 从子问题 f[i - j²] 转移
}
f[i] = minn + 1; // 加上当前使用的 j²，总数 +1
}
return f[n];
✅ 优点：逻辑清晰，适用于任意“硬币找零”类问题变种。
⚠️ 缺点：时间复杂度较高（O(n√n)），但在 n ≤ 10⁴ 下完全可接受。
✅ 方法二：数学法（基于四平方和定理，极致优化）
📜 四平方和定理（Lagrange's Four-Square Theorem）
任意正整数都可以表示为至多 4 个完全平方数之和。
更进一步，Legendre 补充了判定条件：
当且仅当
n = 4ᵏ × (8m + 7)时，n 必须用 4 个平方数表示；否则最多用 3 个。
因此，答案只能是 1、2、3 或 4。
判定流程：
- 是否为完全平方数？ → 是则返回 1。
- 是否满足
n = 4ᵏ(8m+7)？ → 是则返回 4。 - 能否拆成两个平方数之和？ → 枚举
a，检查n - a²是否为平方数 → 是则返回 2。 - 否则 → 必为 3。
代码详解（C++）
// 判断 x 是否为完全平方数
bool isPerfectSquare(int x) {
int y = sqrt(x); // 取整数平方根
return y * y == x; // 验证平方是否等于原数
}
// 判断是否满足 n = 4^k * (8m + 7)
bool checkAnswer4(int x) {
while (x % 4 == 0) { // 不断除以 4，直到无法整除
x /= 4;
}
return x % 8 == 7; // 检查剩余部分是否 ≡7 (mod 8)
}
int numSquares(int n) {
if (isPerfectSquare(n)) return 1; // 情况1：本身就是平方数
if (checkAnswer4(n)) return 4; // 情况2：必须用4个
for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 情况3：尝试拆成两个
int j = n - i * i;
if (isPerfectSquare(j)) return 2;
}
return 3; // 情况4：只能是3
}
✅ 优点：时间复杂度 O(√n)，空间 O(1)，极其高效。
💡 面试加分项：能说出四平方和定理，展现数学素养！
🧩 解题思路（分步拆解）
动态规划法步骤：
- 初始化：创建长度为
n+1的数组f，f[0] = 0。 - 外层循环：遍历
i从 1 到n，计算每个f[i]。 - 内层循环：枚举所有
j满足j² ≤ i。 - 状态转移：
f[i] = min(f[i - j²]) + 1。 - 返回结果：
f[n]即为答案。
数学法步骤：
- 检查 1：
n是否为完全平方数？ - 检查 4：不断除以 4，看是否最终模 8 余 7。
- 检查 2：枚举
a ∈ [1, √n]，看n - a²是否为平方数。 - 默认 3：若以上都不满足，则答案为 3。
📊 算法分析
| 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 动态规划 | O(n√n) | O(n) | 通用解法，适合变形题（如限制平方数种类） |
| 数学法 | O(√n) | O(1) | 本题最优解，体现数学洞察力 |
💡 面试建议：先写 DP 解法（稳妥），再提数学优化（惊艳）！
💻 代码
C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
// 方法一：动态规划
class SolutionDP {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> f(n + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int minn = INT_MAX;
for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
minn = min(minn, f[i - j * j]);
}
f[i] = minn + 1;
}
return f[n];
}
};
// 方法二：数学法
class SolutionMath {
public:
bool isPerfectSquare(int x) {
int y = sqrt(x);
return y * y == x;
}
bool checkAnswer4(int x) {
while (x % 4 == 0) {
x /= 4;
}
return x % 8 == 7;
}
int numSquares(int n) {
if (isPerfectSquare(n)) {
return 1;
}
if (checkAnswer4(n)) {
return 4;
}
for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
int j = n - i * i;
if (isPerfectSquare(j)) {
return 2;
}
}
return 3;
}
};
// 测试
signed main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
SolutionMath sol;
// 测试用例
cout << sol.numSquares(12) << "\n"; // 输出: 3
cout << sol.numSquares(13) << "\n"; // 输出: 2
cout << sol.numSquares(1) << "\n"; // 输出: 1
cout << sol.numSquares(7) << "\n"; // 输出: 4 (7 = 4^0 * (8*0+7))
cout << sol.numSquares(6) << "\n"; // 输出: 3 (4+1+1)
return 0;
}
JavaScript
// 方法一：动态规划
var numSquares = function(n) {
const f = new Array(n + 1).fill(0);
for (let i = 1; i <= n; i++) {
let minn = Number.MAX_VALUE;
for (let j = 1; j * j <= i; j++) {
minn = Math.min(minn, f[i - j * j]);
}
f[i] = minn + 1;
}
return f[n];
};
// 方法二：数学法
const isPerfectSquare = (x) => {
const y = Math.floor(Math.sqrt(x));
return y * y === x;
};
const checkAnswer4 = (x) => {
while (x % 4 === 0) {
x /= 4;
}
return x % 8 === 7;
};
var numSquares = function(n) {
if (isPerfectSquare(n)) {
return 1;
}
if (checkAnswer4(n)) {
return 4;
}
for (let i = 1; i * i <= n; i++) {
let j = n - i * i;
if (isPerfectSquare(j)) {
return 2;
}
}
return 3;
};
🎯 面试高频考点总结
- 动态规划建模能力：能否将“最少数量”转化为状态转移？
- 数学定理应用：是否知道四平方和定理？能否快速判断 4 的情况？
- 边界处理：
f[0] = 0的合理性？sqrt取整误差如何避免？ - 优化意识：在 DP 基础上，能否想到数学剪枝？
🌟 本期完结，下期见！🔥
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