使用人工智能，数学家发现流体方程中的隐藏故障
引言
近200年前，物理学家Claude-Louis Navier和George Gabriel Stokes完成了描述流体如何旋转的一组方程。近200年来，Navier-Stokes方程一直是描述现实世界中流体行为的无可争议的理论——从在大陆之间穿行的洋流到环绕机翼的空气。
然而，许多数学家怀疑方程深处隐藏着故障。他们预感在某些情况下，该理论会失效。在这些情况下，方程将预测流体以某种非物理的、难以理解的方式运动——例如，旋转成不可能的高速涡流，或瞬间逆转其流动。方程中的某个量将变得无限大，或者用数学家的话说，“爆炸”。
尽管付出了巨大的努力，还没有人能够提出Navier-Stokes方程失效的情况。做到这一点——或者，相反地，证明方程永远不会爆炸——将获得100万美元的奖励。因此，作为解决Navier-Stokes问题的前奏，数学家们在一系列简化的流体方程中寻找爆炸（也称为奇点），例如那些只在一维空间操作的方程。
他们找到了。但基本上，他们发现的所有奇点都是“稳定的”，这意味着它们可以以多种可能的方式形成。在最现实的流体理论中，包括Navier-Stokes，爆炸（如果存在的话）可能更加微妙，以一种难以想象的精确方式发生。这些“不稳定的”爆炸几乎不可能被发现，是终极的“大海捞针”。
在这些现实的理论中，“很多人相信存在奇点，但它们是不稳定的，所以我们从未看到过，”普林斯顿大学的数学家Charlie Fefferman说，他提出了价值百万美元的Navier-Stokes挑战。
现在，一组数学家开发出一种训练机器识别这些幽灵故障的方法。在9月发布的一篇预印本中，他们重新审视了已知存在稳定奇点的更简单的流体方程。在那里，他们发现了额外的潜在爆炸情景——包括不稳定的情景。这是首次在超过一维的流体中发现可能的不稳定奇点。
该团队还在其他几个流体方程中发现了一系列不稳定的奇点候选解。他们还没有发现任何价值百万美元的奇点。他们仍然需要严格证明他们发现的那些确实会爆炸。但他们在简单模型中发现潜在不稳定奇点的成功，增加了在更高风险的场景中找到不稳定爆炸的可能性。
“不稳定奇点的想法不再阻碍奇点的发现，”Fefferman说，他没有参与这项新研究。
奇点狩猎
Navier-Stokes方程的解捕捉了永恒的片段。求解流体某个初始状态的方程将告诉您流体在空间各点和每个时刻的速度。在一个简单的解中，流体可能开始平静并永远保持平静。在更复杂的设置中，温和的洋流可能会合并成漩涡和涡流。最大的谜团是，是否每一个解——每一个满足Navier-Stokes方程的可能流体历史——在任何地方和任何时刻都是有意义的。
但是处理三维流体的Navier-Stokes方程是极其困难的，因此数学家们从更简单版本的问题开始。例如，欧拉方程假设流体流动时没有内部摩擦或粘度。能量在这些无摩擦的流体中不会耗散，因此它们应该比粘性流体更容易爆炸。
但即使在这种更简单的情况下，找到爆炸解也很困难。流体方程通常过于复杂，无法用纸笔直接求解。因此，常见的方法是使用计算机模拟流体的运动，并近似了解似乎会产生爆炸的条件。如果你能精确地识别出产生爆炸的条件，你或许可以利用这些知识来严格证明爆炸确实存在。
这正是Thomas Hou和Guo Luo在2013年采用的方法，当时他们模拟了一个罐子里的数字液体。他们将液体上半部分设置为一个方向旋转，下半部分设置为相反方向，然后使用欧拉方程让这个场景随时间演化。最终，在沿罐子边界处相反流动相遇的点上，涡量（衡量液体围绕某点旋转程度的度量）变得很大——大到他们的计算机无法处理。
这暗示了类似的条件组合将导致爆炸。但这并不是保证。“到处都是所谓的3D欧拉奇点解，”Fefferman说。
Hou和另一位合作者Jiajie Chen花了近十年的时间才去掉了“所谓的”这个词。2022年，他们使用计算机证明了这个奇点候选解意味着存在一个真正的奇点。这是一个里程碑式的证明，它让数学家们渴望将前沿进一步推进。
这项研究依赖于计算机模拟，这意味着对数字流体初始状态的微小调整（或任何数字舍入误差）不会影响流体的最终命运。即使情况略有不同，奇点仍然会在罐子的边界处发生。
因此，这个奇点是稳定的。但奇点不一定稳定。爆炸可能只在流体以最微妙的方式设置时才会发生。在这种情况下，对该初始排列的任何调整，无论多么微小，都会阻止流体爆炸。
许多数学家推测，如果奇点确实潜伏在更现实的流体方程中，它们将像这样不稳定，毫无预警地突然出现。
它们也将更难被发现。
走向有限
用计算机模拟追踪不稳定的奇点候选解基本上是不可能的。首先，你需要像宇宙般的运气，恰好让你的流体处于正确的初始配置——类似于试图完美地将笔尖平衡在笔尖上，纽约大学的数学家Tristan Buckmaster说。然后，为了保持平衡，你还必须完美地将流体从一个时刻演化到下一个时刻，因为即使是最小的偏差也会使它走上不会爆炸的道路。
计算机不具备无限的精度。它们不可避免地会引入数值误差，这些误差虽然微小，但会阻止不稳定奇点的形成。“就像风吹在你的笔上一样，”Buckmaster说。
因此，几乎所有的爆炸候选解都是稳定的。
因此，Buckmaster和他的同事Ching-Yao Lai（现就职于斯坦福大学）开始研究一种可能“防风”的方法来寻找不稳定的奇点。
他们起初并没有打算这样做。2021年，他们使用神经网络作为一种新的方法，不加区别地搜索任何类型的奇点候选解。一般来说，神经网络是由大量数字定义的函数。这些数字通过高效的“训练”过程（包括猜测、检查和优化）进行仔细调整，直到该函数能够执行某些所需的任务。例如，如果你使用数千张标记的猫和狗的照片来校准神经网络，它就会“学会”输入从未见过的未标记图像，并将其标记为“猫”或“狗”。
Buckmaster和Lai转向了所谓的物理信息神经网络。与图像分类神经网络不同，PINN不是通过研究外部数据来学习。相反，它接受一个偏微分方程——描述系统如何随时间变化的方程——并调整自身，直到能够表示该方程的一个解函数。例如，它可以接受流体方程，并训练自己逼近一个捕获流体有效历史的函数，该历史可能包含一个奇点。
但没有任何计算机技术可以直接渲染奇点的无限性质。想象一下，播放你的流体模拟并观察它随时间向前移动。您可以将某个量（例如流体中不同点的速度）表示为图表上的一条曲线。随着流体随时间变化，您会看到那条曲线也在变化，就像一部电影。如果曲线从一帧到下一帧变得陡峭得多，流体可能正在接近奇点。然而，模拟无法到达最终目的地。在曲线变得无限陡峭之前，计算机会耗尽内存，导致程序崩溃。然后你就无法确定会发生什么——你是否真的走向了爆炸。
为了避开无限性的不便，数学家们最近将搜索重点放在具有一种称为自相似性的特殊性质的奇点上。这意味着有一种方法可以拉伸一帧中的速度曲线，以匹配后来帧中更陡峭的速度曲线。因此，如果您想捕获一个潜在的奇点，您不再需要试图观察曲线变得无限陡峭。相反，你可以在电影播放时放大曲线的变陡部分，同时以一种抵消变陡的方式进行缩放。从这个新的、动态的视角来看，曲线越来越接近一条具有有限陡度的冻结曲线。这种变换使目标——冻结的极限——成为一个有限计算机可以处理的有限对象。
Buckmaster和Lai意识到，PINN可能是寻找流体方程这些冻结解的极其有效的方法。此外，这些神经网络还可以确定使奇异解显得冻结和有限的唯一缩放速率。
起初，他们的PINN只发现了已知的候选解。例如，在2022年，Buckmaster和Lai，以及Lai的博士后研究员Yongji Wang和布朗大学的Javier Gómez-Serrano，使用PINN来逼近Hou和Luo在2013年发现的稳定爆炸。（Hou和Chen将在同年晚些时候证明其存在。）
他们还重新发现了Córdoba-Córdoba-Fontelos方程中一个已知的奇点候选解，该方程描述了一种更简单的一维流体。那个奇点候选解特别值得注意——它是不稳定的。它是在2019年被发现的，因为CCF方程恰好与一个理解得更透彻的更简单的流体模型密切相关。但是PINN能够以更一般的方式、更精确地找到这个解。这是因为它不是传统意义上的模拟，随时间向前推进流体。相反，它直接针对冻结极限。
“没有时间，所以你不在乎它不稳定，”Buckmaster说。“你只是尝试求解方程本身。”
一系列新的不稳定解
数学家们对使用他们的PINN寻找新的不稳定奇点候选解的前景感到兴奋。他们与某机构合作，花了几年时间微调神经网络方法，以在几种不同的经典流体理论中寻找不稳定的爆炸。现在在DeepMind担任研究员的Wang领导团队，从现成的PINN转向专门针对他们试图求解的特定流体方程定制的神经网络。研究人员还进一步调整了PINN的结构，以引导它们找到具有他们已知奇点应具备的特征的解。
当他们这样做时，他们的PINN在识别奇点候选解方面变得更好了。好了很多。
9月，他们由20多名研究人员组成的合作团队公布了大量从未见过的奇点，其中大多数是不稳定的。
重新审视罐子中的旋转流体，他们描述了欧拉方程中四个新的不稳定奇点候选解。这些仍然与Hou和Luo已知的稳定奇点大致相似，尽管初始旋转条件在强度和其他变量上略有不同。他们发现的每个候选解都比前一个更不稳定——当设置以微妙的方式调整时，消失得更容易。
他们还研究了描述流体如何通过二维不可压缩多孔介质（如土壤或岩石）过滤的方程。以前从未有人在这种设置中找到过奇点候选解。他们发现了四个——一个稳定，三个不稳定。所有这些都涉及一个可以在思想实验中可视化的类似设置，尽管在现实中，没有科学家能够以无尽的精度调整流体以使实验成为现实。想象一个装满沙层和岩石层（但没有蚂蚁）的蚂蚁农场。现在加入一滴水，润湿一些沙子。随着时间的推移，重力将水向下拉过沙子，水滴在下降时变平。最终它撞到岩石层，与流体密度相关的某个属性似乎会爆炸。
最后，团队回到一维CCF方程，这次发现了一个比以前更不稳定的奇点。可视化这个模型的一种方法是想象一个广阔的水坑，有两股相反的洋流。CCF方程描述了两个洋流之间的界面。如果你在这个界面中放入一个精心塑造的扭结，它会锐化成一个奇异的尖点。
值得注意的是，像Navier-Stokes方程一样（与研究人员研究的其他两种方程不同），CCF方程描述的流体具有类似于粘性的耗散特性。因此，他们研究的每个模型都表明，PINN方法可以处理完整Navier-Stokes方程的某些具有挑战性的方面，例如更高的维度和耗散。
“我们正试图逐个隔离技术难点，”Gómez-Serrano说。
至关重要的是，这些新的奇点候选解都还没有得到证明。但Gómez-Serrano预计它们可以被证明，因为PINN的近似值非常精确。而且候选解越精确，就越容易证明它是一个真正的奇点。与团队几年前首次发布他们的PINN时相比，他们的精确度提高了约10亿倍。
“精确度非常出色，”西班牙加泰罗尼亚理工大学的数学家Eva Miranda说。“残差误差非常小，这些解确实可以作为未来计算机辅助证明的种子。”
挣脱边界的竞赛
百万美元的问题，或者严格来说是百万美元问题的热身问题，是该机构合作项目现在是否可以使用他们的PINN机器在欧拉方程中找到奇点——针对一种没有困在罐子里的流体，这是一个困难得多的问题。数学家们表示，为了处理这种更复杂、更不规则的流体，他们将需要再次升级他们的技术，但他们持乐观态度。
“你正在构建一个强大的工具来寻找非常难以找到的东西，”Buckmaster说。
然而，其他数学家指出，过去的成功并不能保证未来的回报，因为无界流体与有界流体完全不同。“这是完全不同的东西，”西班牙数学科学研究所的数学家Diego Córdoba说，他是CCF模型中的Córdoba之一。（他的父亲是另一位。）
因此，随着研究人员在欧拉方程及其他方程中寻找“无边界”奇点，竞争正在升温。Córdoba和他的合作者，西班牙CUNEF大学的Luis Martínez-Zoroa，已经使用纸笔技术在少数几种不同的流体设置中发现了稳定的奇点。他们认为他们即将使他们的方法适用于无边界欧拉流体。（Córdoba曾担心该机构合作项目即将击败他们实现这一目标，但令他欣慰的是，他们的PINN还不够强大，无法破解这个问题。他们发现的解，他说，“是不稳定的，但没那么不稳定。”）
另一个竞争者，加州大学圣地亚哥分校的Tarek Elgindi，已经在无边界设置中取得了成功（有其他限制条件），并打算扩展他的策略范围。
目前尚不清楚哪种技术（如果有的话）会达到终点线。“如果Javi设法做到了，我会感到非常自豪和高兴，”曾是Gómez-Serrano博士导师的Córdoba说。“但如果我们设法做到，我会更高兴。”
如果有人能做到，那么接下来就是Navier-Stokes了。但是，尽管最近在发现新的流体故障方面取得了一系列进展，数学家们对过于乐观仍然持谨慎态度。
“你可能会做白日梦，但只做一两天，”Gómez-Serrano说。“你没有足够好的想法。然后白日梦就停止了。”
