在日常生活中，我们经常会遇到一些“凑单”或“组合优化”的场景：比如在电商大促时，如何选择手中的优惠券使得刚好达到满减门槛且溢出最少？再比如在游戏里，如何使用手中的道具最快达成目标？这些问题看似简单，但若想得到“最优解”，背后的算法逻辑却值得深究。最近，我在开发一个宠物养成类项目时，就遇到了一个典型的此类问题，并最终通过动态规划（
DP）得以解决。
背景
最近，博主在做一个宠物养成的项目，在项目中有这么一个场景：宠物在上课期间可以使用“加速道具”来缩短课程的学习时间，其中，用户可能拥有多种不同的道具，每种道具有不同的加速时长（例如：道具A加速10秒，道具B加速15秒）。当用户想要通过道具来加速时，系统需要自动给出最优的道具组合。
这里的“最优”，定义为：在保证累计加速时间大于或等于课程剩余时间的前提下，使得“溢出时间”（即累计加速时间减去课程剩余时间）最小化。
在对问题进行分析与抽象后，博主发现这种问题在生活中随处可见：
- 电商凑单：订单金额95元，手里有满100减10、满50减5的券，如何组合最划算？
- 零钱兑换：要支付25美分，手里有1、5、10、25美分的硬币，如何用最少的硬币凑出刚好或略多于25美分的金额？
问题抽象
这个问题抽象出来，就是一类经典的算法问题。给定一个目标值T（课程剩余时间），以及一个包含n个正整数的数组props（每个道具i的加速时长props[i]），要求从数组props中选出若干个道具，使其和S满足S>=T，并且S−T的值最小（即溢出最少）。
例如，当前课程剩余 25 秒，给定以下道具：
- 道具A：加速 10 秒，数量 3 个
- 道具B：加速 15 秒，数量 2 个
需要在其中找到若干道具，使得选中的道具加速时长 大于等于 课程剩余时长25秒，并且差值最小 （即溢出最少）。
问题分析
上述问题是 一个典型的 背包问题变种，可以用动态规划解决。
状态定义
- dp[t]: 表示能否通过道具组合达到时间
t，如果可达则记录最后一个使用的道具索引。
状态转移
dp[t] = dp[t - props[i]]
代码实现
/**
* 时间复杂度: O(n*total)
* 空间复杂度: O(total)
*
* n为道具数量, total为道具可加速总时长
*
* @params props 道具列表(存在重复道具)
* @params time 目标加速时间
* @return 选中的道具
*/
public List<Integer> find(int[] props, int time) {
int total = 0;
for (int i = 0; i < props.length; i++) {
total += props[i];
}
int[] dp = new int[total + 1];
Arrays.fill(dp, -1);
dp[0] = -2; //标记初始状态
for (int i = 0; i < props.length; i++) {
for (int j = total; j - props[i] >= 0; j--) {
if (dp[j] == -1 && dp[j - props[i]] != -1) {
dp[j] = i;
}
}
}
int bestTime = -1;
for (int t = time; t <= total; t++) {
if (dp[t] != -1) {
bestTime = t;
break;
}
}
List<Integer> res = new ArrayList<>();
for (int t = bestTime; t > 0; ) {
int prop = props[dp[t]];
res.add(prop);
t -= prop;
}
return res;
}
