3-23.【函数式编程】什么是 Monoid，并给出数组或字符串的 Monoid 实例。

1️⃣ 什么是 Monoid

在 函数式编程和抽象代数中，Monoid 是一个具有以下特征的代数结构：

1. 封闭性（Closure）

   • 对类型 T 的任意两个值进行操作，仍然返回同类型值
   • Swift 示例：数组拼接 [Int] + [Int] -> [Int]

2. 结合律（Associativity）

   • (a ⊕ b) ⊕ c == a ⊕ (b ⊕ c)
   • 操作顺序不会影响结果

3. 单位元（Identity / Neutral Element）

   • 存在一个元素 e，使得 a ⊕ e = e ⊕ a = a
   • 对数组 → []
   • 对字符串 → ""

总结：Monoid = 类型 + 二元结合操作 + 单位元

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2️⃣ Swift 中的数组 Monoid

• 类型：[Int] 或 [Element]
• 二元操作：数组拼接 +
• 单位元：空数组 []

let a = [1, 2]
let b = [3, 4]
let c = [5]

// 闭合性
let ab = a + b          // [1,2,3,4]

// 结合律
let left = (a + b) + c  // [1,2,3,4,5]
let right = a + (b + c) // [1,2,3,4,5]
print(left == right)    // true

// 单位元
let withIdentity = a + []  // [1,2]
print(withIdentity == a)   // true

✅ 数组就是一个典型的 Monoid

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3️⃣ Swift 中的字符串 Monoid

• 类型：String
• 二元操作：字符串拼接 +
• 单位元：空字符串 ""

let s1 = "Hello, "
let s2 = "World"

// 闭合性
let combined = s1 + s2   // "Hello, World"

// 结合律
let left = (s1 + s2) + "!"   // "Hello, World!"
let right = s1 + (s2 + "!")  // "Hello, World!"
print(left == right)         // true

// 单位元
let withIdentity = s1 + ""   // "Hello, "
print(withIdentity == s1)    // true

✅ 字符串拼接也是 Monoid

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4️⃣ Monoid 的函数式应用

1. 可折叠数据结构：可以用 reduce 利用 Monoid 来组合数据

let arrays = [[1,2], [3,4], [5]]
let combined = arrays.reduce([], +) // 使用 Monoid 的单位元 []
print(combined) // [1,2,3,4,5]

2. 字符串拼接流水线：

let words = ["Swift", "is", "fun"]
let sentence = words.reduce("", +)
print(sentence) // "Swiftisfun"

• reduce 的初始值就是 单位元
• 二元操作就是 Monoid 的结合操作

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5️⃣ 小结

特性	数组 Monoid	字符串 Monoid
类型	[Element]	String
操作	+ (拼接)	+ (拼接)
单位元	[]	""
结合律	(a+b)+c == a+(b+c)	(a+b)+c == a+(b+c)
用途	合并数组、fold/reduce	拼接文本、日志收集

💡 核心思想：Monoid 提供可组合、安全的累加操作，在函数式编程中非常常见。

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