0-1背包问题

0-1 背包问题：有限容量下的最大价值

1. 问题定义

0-1 背包问题是最经典的动态规划问题，描述如下：

给定 n 个物品，每个物品有重量 w[i] 和价值 v[i]，背包最大容量为 C。每个物品只能选择 “放入” 或 “不放入” 背包（0-1 选择），求在背包容量限制下，能装入的最大价值。

例如：物品重量 [1,2,3]，价值 [6,10,12]，背包容量 5，最大价值为 22（选重量 2 和 3 的物品，价值 10+12=22）。

2. 核心求解策略

0-1 背包是多项式时间可解的问题（P 类问题），核心解法是动态规划，且可通过空间优化降低复杂度：

基础 DP 思路（二维数组）

• 状态定义：dp[i][j] 表示 “前 i 个物品，背包容量为 j 时的最大价值”。

• 状态转移：

  • 不选第 i 个物品：dp[i][j] = dp[i-1][j]；
  • 选第 i 个物品（需满足 j ≥ w[i]）：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])。

空间优化（一维数组）

二维 DP 的空间复杂度为 O(n*C)，可优化为 O(C)：

• 状态定义：dp[j] 表示 “背包容量为 j 时的最大价值”；
• 状态转移：逆序遍历容量 j（避免重复选择同一物品），dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i])。

3. Java 代码实现（一维 DP 优化版）

import java.util.Arrays;

/**
 * 0-1背包问题 - 一维动态规划优化解法
 * 空间复杂度O(C)，时间复杂度O(n*C)
 */
public class ZeroOneKnapsack {
    /**
     * 求解0-1背包最大价值
     * @param weights 物品重量数组
     * @param values 物品价值数组
     * @param capacity 背包最大容量
     * @return 最大价值
     */
    public static int knapsack(int[] weights, int[] values, int capacity) {
        int n = weights.length;
        // dp[j]：容量为j的背包能装的最大价值
        int[] dp = new int[capacity + 1];

        // 初始化：容量为0时，价值为0（数组默认值为0，无需额外初始化）
        Arrays.fill(dp, 0);

        // 遍历每个物品
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int w = weights[i];
            int v = values[i];
            // 逆序遍历容量：避免重复选择同一物品（0-1特性）
            for (int j = capacity; j >= w; j--) {
                // 状态转移：选或不选当前物品，取最大值
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w] + v);
            }
        }

        return dp[capacity];
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 测试用例：物品重量[1,2,3]，价值[6,10,12]，背包容量5
        int[] weights = {1, 2, 3};
        int[] values = {6, 10, 12};
        int capacity = 5;

        int maxValue = knapsack(weights, values, capacity);
        System.out.println("0-1背包最大价值：" + maxValue); // 预期结果：22
    }
}

4. 代码详解

1. 数组初始化：dp 数组长度为 capacity+1，初始值全为 0（容量为 0 时价值为 0）。

2. 物品遍历：外层循环遍历每个物品，获取当前物品的重量 w 和价值 v。

3. 逆序容量遍历：

   • 逆序遍历是 0-1 背包的核心（区别于完全背包的正序），确保每个物品仅被选择一次；
   • 仅遍历 j ≥ w 的容量（容量不足时无法选择当前物品）；
   • 状态转移：比较 “不选当前物品（dp [j]）” 和 “选当前物品（dp [j-w]+v）” 的价值，取最大值。

4. 结果返回：dp[capacity] 即为 “背包容量为 capacity 时的最大价值”。