每日一算法——二分查找

算法概述

二分查找是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法。他的核心思想是通过不断将搜索范围减半来快速定位目标元素，通过先查询到中间元素，再根据目标字的位置决定继续向左还是向右查找。与线性查找（行第一个元素开始逐个比对）相比，二分查找的效率会高很多。

核心思路和原理

二分查找的核心思想是 分而治之。算法的工作原理如下：

1. 确定搜索范围： 初始化左边界 left 为 0，右边界 right 为数组长度 -1；
2. 计算中间位置： mid = (left + right) // 2
3. 比较中间元素：
   • 如果 arr[mid] 等于目标值, 返回 mid;
   • 如果 arr[mid] 小于目标值, 说明目标在右半部分, 将 left 设置为 mid+1;
   • 如果 arr[mid] 大于目标值, 说明目标在左半部分, 将 right 设置为 mid-1;
4. 重复步骤 2-3： 直至找到目标或者搜索范围为空。

关键概念：

1. 有序性要求： 二分查找要求数组必须是有序的，这是算法能够工作的前提；
2. 边界条件： 循环条件是 left <= right, 当 left > right 时说明搜索范围为空;
3. 中间位置计算： 使 (left + right) // 2 可以避免整数溢出问题.

算法流程图

流程图说明:

1. 算法从检查搜索范围是否有效开始（left <= right）
2. 每次循环计算中间位置 mid，比较中间元素与目标值
3. 根据比较结果调整搜索范围（左半部分或右半部分）
4. 如果找到目标值立即返回，否则继续缩小搜索范围
5. 当搜索范围为空时，说明目标不存在，返回 -1

详细示例演示

假设我们要在有序数组  [2, 5, 8, 12, 16, 23, 38, 56, 72, 91]  中查找目标值  23 。

1. 第 1 轮查找：

   • left = 0, right = 9
   • mid = (0 + 9) // 2 = 4
   • arr[4] = 16 < 23，说明目标在右半部分
   • 调整：left = mid + 1 = 5

2. 第 2 轮查找：

   • left = 5, right = 9
   • mid = (5 + 9) // 2 = 7
   • arr[7] = 56 > 23，说明目标在左半部分
   • 调整：right = mid - 1 = 6

3. 第 3 轮查找：

   • left = 5, right = 6
   • mid = (5 + 6) // 2 = 5
   • arr[5] = 23 == 23，找到目标！
   • 返回索引 5

4. 查找过程总结：

   • 初始范围：0-9，中间元素 16
   • 调整后范围：5-9，中间元素 56
   • 调整后范围：5-6，中间元素 23（找到）

总共比较 3 次，而线性查找需要 6 次

Python 代码实现

def binary_search(arr, target):
    left, right = 0, len(arr) - 1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if arr[mid] == target:
            return mid
        elif arr[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return -1  # 未找到目标元素

if __name__ == '__main__':
    arr = [2, 5, 8, 12, 16, 23, 38, 56, 72, 91]
    target = 23

    index = binary_search(arr, target)
    if index != -1:
        print(f"目标元素 {target} 找到，索引为 {index}")
    else:
        print(f"目标元素 {target} 未找到")

代码说明:

1. 使用 while 循环控制搜索过程，条件是 left <= right
2. 每次循环计算中间位置 mid，避免使用 (left + right) // 2 可能导致的整数溢出
3. 通过比较中间元素与目标值，不断缩小搜索范围
4. 如果找到目标立即返回索引，否则循环结束后返回 -1