LeetCode 10 | 正则表达式匹配：动态规划详解

在这篇文章里，我将带你深入理解 正则表达式匹配 这道题，并讲解 动态规划（DP）解法的核心思路、表格填法和代码实现。

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一、题目理解

给定一个字符串 s 和一个模式 p，判断 s 是否能匹配 p：

• . 匹配任意单个字符
• * 匹配零个或多个 前一个元素

示例

示例 1:
s = "aa", p = "a*" → true
解释: '*' 表示可以重复前一个字符 'a' 多次，"aa" 可以匹配 "a*"

示例 2:
s = "mississippi", p = "mis*is*p*." → false

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二、为什么用动态规划

• 匹配问题存在重叠子问题：

  • 匹配 s[0..i] 和 p[0..j] 可以通过匹配前面子串的结果递推得到

• * 的零次或多次选择使得暴力递归容易超时

• DP 用二维表格记录所有子问题，避免重复计算

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三、DP 状态定义

dp[i][j] = s[0..i-1] 是否能匹配 p[0..j-1]

• i = 0 → 空字符串
• j = 0 → 空模式
• 最终答案：dp[m][n]，其中 m = s.length(), n = p.length()

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四、DP 转移方程

1. 普通字符或 .

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] && (s[i-1] == p[j-1] || p[j-1] == '.')

• 左上格 dp[i-1][j-1] 决定前缀是否匹配
• 当前字符匹配（相等或 .）才为 true

2. * 情况

dp[i][j] = dp[i][j-2] || 
           (dp[i-1][j] && (s[i-1] == p[j-2] || p[j-2] == '.'))

• 零次匹配：dp[i][j-2] → 忽略 * 和前一个字符
• 多次匹配：dp[i-1][j] → 当前字符匹配前一个字符，可以继续消耗 s

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五、表格初始化

1. 空字符串匹配空模式：

dp[0][0] = true;

2. 空字符串匹配带 * 的模式：

for (int j = 2; j <= n; j++) {
    if (p.charAt(j-1) == '*') dp[0][j] = dp[0][j-2];
}

解释：空串只能通过 * 匹配 0 次，所以依赖左边两格的值

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六、例子演示

s = "aab"
p = "c*a*b"

DP 表（T=true, F=false）

s\p	""	c	*	a	*	b
""	T	F	T	F	T	F
a	F	F	F	T	T	F
a	F	F	F	F	T	F
b	F	F	F	F	F	T

• 每个格子依赖：

  • 左上：普通字符匹配
  • 左两格：* 零次匹配
  • 上格：* 多次匹配

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七、Java 实现

class Solution {
    public boolean isMatch(String s, String p) {
        int m = s.length(), n = p.length();
        boolean[][] dp = new boolean[m + 1][n + 1];

        dp[0][0] = true; // 空串匹配空模式

        // 初始化空字符串匹配模式
        for (int j = 2; j <= n; j++) {
            if (p.charAt(j - 1) == '*') {
                dp[0][j] = dp[0][j - 2];
            }
        }

        // 填表
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (p.charAt(j - 1) == '*') {
                    dp[i][j] = dp[i][j - 2] ||
                               (dp[i - 1][j] && (s.charAt(i - 1) == p.charAt(j - 2) 
                                                 || p.charAt(j - 2) == '.'));
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] &&
                               (s.charAt(i - 1) == p.charAt(j - 1) 
                                || p.charAt(j - 1) == '.');
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

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八、总结

1. DP 核心思想：记录所有子串匹配结果，避免重复计算
2. * 处理分两种情况：零次 / 多次
3. 第一行初始化处理空字符串匹配带 * 的模式
4. 时间复杂度：O(m * n)，空间复杂度：O(m * n)

Tip：如果空间敏感，可以优化为滚动数组，压缩到 O(n)