MATLAB 中使用 inv() 函数求解线性方程组时，如何验证结果的正确性

一、核心验证原理

对于线性方程组 $A \cdot X = B$，若 $X$ 是正确解，代入后应满足 $A \cdot X - B \approx 0$（浮点运算存在微小误差，残差需接近0）。验证的核心就是计算这一“残差”，并通过量化指标判断解的有效性。

二、具体验证方法（按优先级排序）

方法1：直接计算残差向量（最基础、必做）

残差向量 $r = A \cdot X - B$，若所有元素的绝对值都远小于 $10^{-6}$（工程常用阈值），则解正确。

实操代码（承接inv()求解流程）

% 1. 定义方程组（适定，A为非奇异方阵）
A = [1 2 3; 2 5 2; 3 1 5];
B = [14; 18; 20];

% 2. inv()求解
A_inv = inv(A);
X = A_inv * B;

% 3. 计算残差向量
residual = A * X - B;

% 4. 输出结果并判断
disp('求解结果 X：');
disp(X);
disp('残差向量 residual = A*X - B：');
disp(residual);

% 量化判断：所有残差元素的绝对值是否小于1e-6
max_residual = max(abs(residual));
if max_residual < 1e-6
    disp('验证通过：解满足原方程组，结果正确！');
else
    disp('验证失败：残差过大，解不正确！');
end

输出结果

求解结果 X：
   1.0000
   2.0000
   3.0000
残差向量 residual = A*X - B：
   1.0e-14 *
   -0.0888
    0.1776
         0
验证通过：解满足原方程组，结果正确！

说明：残差量级为 $10^{-14}$，远小于 $10^{-6}$，解完全正确；若残差在 $10^{-3}$ 以上，需检查矩阵定义或求解过程。

方法2：计算残差的范数（量化精度，适合高阶方程组）

对于高阶方程组（如100阶），逐个查看残差元素效率低，可计算残差的范数（标量，表征残差整体大小），范数越小精度越高。

• 常用范数：2-范数（norm(residual)）、无穷范数（norm(residual, inf)，最大绝对值）。

实操代码

% 接上述求解代码
% 计算残差的2-范数（默认）和无穷范数
res_norm2 = norm(residual);       % 2-范数（欧几里得范数）
res_norminf = norm(residual, inf);% 无穷范数（最大残差绝对值）

disp(['残差2-范数：', num2str(res_norm2)]);
disp(['残差无穷范数：', num2str(res_norminf)]);

% 阈值判断（工程场景阈值可设为1e-6）
if res_norm2 < 1e-6
    disp('残差范数验证通过，解正确！');
else
    disp('残差范数超标，解错误！');
end

输出结果

残差2-范数：2.0056e-15
残差无穷范数：1.7764e-15
残差范数验证通过，解正确！

方法3：代入原方程组手动验算（适合低阶方程组）

对于3阶及以下的简单方程组，可将解代入原方程，直接计算左右两边是否相等，直观验证。

实操示例（以上述方程组为例）

% 提取解的分量
x1 = X(1);
x2 = X(2);
x3 = X(3);

% 代入第一个方程：x1 + 2x2 + 3x3 = 14
eq1_left = x1 + 2*x2 + 3*x3;
eq1_right = 14;
disp(['第一个方程：左边=', num2str(eq1_left), '，右边=', num2str(eq1_right)]);

% 代入第二个方程：2x1 + 5x2 + 2x3 = 18
eq2_left = 2*x1 + 5*x2 + 2*x3;
eq2_right = 18;
disp(['第二个方程：左边=', num2str(eq2_left), '，右边=', num2str(eq2_right)]);

% 代入第三个方程：3x1 + x2 + 5x3 = 20
eq3_left = 3*x1 + x2 + 5*x3;
eq3_right = 20;
disp(['第三个方程：左边=', num2str(eq3_left), '，右边=', num2str(eq3_right)]);

输出结果

第一个方程：左边=14，右边=14
第二个方程：左边=18，右边=18
第三个方程：左边=20，右边=20

所有方程左右两边完全相等，验证解正确。

方法4：对比\运算符结果（交叉验证，推荐）

\运算符是MATLAB求解线性方程组的最优方法，可将inv()的解与\运算符的解对比，进一步确认正确性。

实操代码

% 用\运算符求解（作为基准解）
X_backslash = A \ B;

% 计算两个解的差值
diff_X = X - X_backslash;
max_diff = max(abs(diff_X));

disp('inv()求解结果 X：');
disp(X);
disp('\运算符求解结果 X_backslash：');
disp(X_backslash);
disp(['两个解的最大差值：', num2str(max_diff)]);

if max_diff < 1e-10
    disp('交叉验证通过：inv()解与\运算符解一致！');
else
    disp('交叉验证失败：两个解差异过大！');
end

输出结果

inv()求解结果 X：
   1.0000
   2.0000
   3.0000
\运算符求解结果 X_backslash：
   1.0000
   2.0000
   3.0000
两个解的最大差值：0
交叉验证通过：inv()解与\运算符解一致！

三、完整验证模板（可直接套用）

% === 步骤1：定义方程组 ===
A = [1 2 3; 2 5 2; 3 1 5];  % 替换为你的系数矩阵
B = [14; 18; 20];            % 替换为你的常数向量

% === 步骤2：inv()求解 ===
if det(A) ~= 0  % 先验证A非奇异
    A_inv = inv(A);
    X = A_inv * B;
else
    error('矩阵A为奇异矩阵，无法使用inv()求解！');
end

% === 步骤3：多维度验证 ===
% 验证1：残差向量
residual = A * X - B;
max_res = max(abs(residual));
% 验证2：残差2-范数
res_norm2 = norm(residual);
% 验证3：对比\运算符结果
X_backslash = A \ B;
max_diff = max(abs(X - X_backslash));

% === 步骤4：输出验证报告 ===
disp('=== 求解结果 ===');
disp(X);
disp('=== 验证结果 ===');
disp(['1. 残差向量最大绝对值：', num2str(max_res), '（阈值<1e-6）']);
disp(['2. 残差2-范数：', num2str(res_norm2), '（越小越好）']);
disp(['3. 与\运算符解的最大差值：', num2str(max_diff), '（阈值<1e-10）']);

% 综合判断
if max_res < 1e-6 && max_diff < 1e-10
    disp('✅ 所有验证通过，解正确！');
else
    disp('❌ 验证失败，解存在错误！');
end

四、常见验证失败原因及解决

1. 残差过大（如1e-1）

• 原因：
  • 系数矩阵A或常数向量B定义错误（如少写元素、符号错误）；
  • 误用点乘.*代替矩阵乘法*（如X = A_inv .* B）；
• 解决：
  • 核对A/B的维度和数值是否与原方程组一致；
  • 确保求解时用A_inv * B（矩阵乘法）。

2. 对比\运算符结果差异大

• 原因：A为病态矩阵（条件数大），inv()计算逆矩阵时误差累积；
• 解决：
  • 用cond(A)计算条件数（值>1e6即为病态）；
  • 放弃inv()，直接用X = A \ B求解（精度更高）。

3. 残差不为0但量级很小（如1e-14）

• 原因：MATLAB浮点运算的舍入误差（正常现象）；
• 解决：此类残差可忽略，判定解正确。