关于Sobel核的一般数学推导（3x3、5x5、7x7，1阶、2阶、3阶...）

HXhlx
9 阅读2分钟

标准的3×33\times 3 Sobel一阶核在x方向（本文仅考虑x方向，y方向为x方向的转置）的模板为

[−101−202−101]\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ -2 & 0 & 2\\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

即为S3S_3，显然，这个核是两个向量的乘积，即

S3=[−101−202−101]=[121]⋅[−101]S_3=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ -2 & 0 & 2\\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

为方便讨论，我们将行向量称为差分核（OpenCV中Sobel函数参数dy≠0dy\not = 0的核），列向量称为平滑核（OpenCV中Sobel函数参数dx=0dx=0的核），虽然根据最终结果来看，这两种核并没有本质区别。

平滑核

首先看平滑核。平滑核的系数满足对应级数的杨辉三角的系数，也就是二项式(a+b)n(a+b)^n的系数。杨辉三角形的系数如下： n=0:1n=0:1 n=1:11n=1:\begin{matrix}1&1\end{matrix} n=2:121n=2:\begin{matrix}1&2&1\end{matrix} n=3:1331n=3:\begin{matrix}1&3&3&1\end{matrix} n=4:14641n=4:\begin{matrix}1&4&6&4&1\end{matrix} n=5:15101051n=5:\begin{matrix}1&5&10&10&5&1\end{matrix} n=6:1615201561n=6:\begin{matrix}1&6&15&20&15&6&1\end{matrix} ⋯\cdots 我们将级数为n的杨辉三角系数组成的矩阵即为PnP_n，则3×33\times 3的平滑核的系数为PnP_n。即对于m×mm\times m的平滑核，其系数为Pm−1P_{m-1}。那么5×55\times 5的平滑核模板为

5×5:P4=[14641]5\times 5:P_4=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 & 4 & 1\\ \end{bmatrix}

7×77\times 7的平滑核模板为

7×7:P6=[1615201561]7\times 7:P_6=\begin{bmatrix} 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1\\ \end{bmatrix}

一阶差分核

对于3×33\times 3的Sobel核，一阶差分核的系数（记为D3′D'_3）为一阶差分方程系数矩阵的翻转（设为G1G_1）与P1P_1的对P1P_1补0卷积。

在离散情况下，一阶差分公式如下：

∂f∂x=f(x+1)−f(x)\frac{\partial f}{\partial x}=f(x+1)-f(x)

其系数矩阵G′G'为

G′=[−11]G'=\begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix}

为了保证卷积后的结果与3×33\times 3的Sobel核一致，还需要对P1P_1的前后各补充一个0，即

P1补0=[0110]P_{1补0}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}

令D3′D_3'的第xx个参数为d3′(x)d_3'(x)，G1G_1的第xx个参数为g′(x)g'(x)，P1补0P_{1补0}的第xx个参数为p1(x)p_1(x)，则有

d3′(x)=(g′∗p1)(x)=∑i=12g′(i)p1(x+2−i)d_3'(x)=(g'*p_1)(x)=\sum_{i=1}^2g'(i)p_1(x+2-i)

则3×33\times 3的一阶差分核的计算方式为

D3′=G′∗P1补0=[∑i=12g′(i)p1(3−i)∑i=12g′(i)p1(4−i)∑i=12g′(i)p1(5−i)]=[[1−1]⋅[01][1−1]⋅[11][1−1]⋅[10]]=[−101]\begin{align*} D'_3&=G'*P_{1补0}\\ &=\begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{2}g'(i)p_1(3-i)&\sum_{i=1}^{2}g'(i)p_1(4-i)&\sum_{i=1}^{2}g'(i)p_1(5-i) \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*}

同理，5×55\times 5的一阶差分核的计算方式为

D5′=G′∗P4补0=[∑i=12g′(i)p4(3−i)∑i=12g′(i)p4(4−i)∑i=12g′(i)p4(5−i)∑i=12g′(i)p4(6−i)∑i=12g′(i)p4(7−i)]=[[1−1]⋅[01][1−1]⋅[13][1−1]⋅[33][1−1]⋅[31][1−1]⋅[10]]=[−1−2021]\begin{align*} D'_5&=G'*P_{4补0}\\ &=\begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{2}g'(i)p_4(3-i)&\sum_{i=1}^{2}g'(i)p_4(4-i)&\sum_{i=1}^{2}g'(i)p_4(5-i)&\sum_{i=1}^{2}g'(i)p_4(6-i)&\sum_{i=1}^{2}g'(i)p_4(7-i) \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 3\\ 3 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} -1 & -2 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} \end{align*}

7×77\times 7的一阶差分核计算方式同理，为（读者可自行继续计算推导）

D7′=G′∗P6补0D'_7=G'*P_{6补0}

二阶差分核

对于3×33\times 3的Sobel核，2阶差分核的系数（D′′D''）为2阶差分方程系数矩阵的翻转（G′′G''）与P0P_0的补0卷积。 在离散情况下，二阶差分公式如下：

∂2f∂x2=∂xf(x+1)−∂xf(x)=[f(x+2)−f(x+1)]−[f(x+1)−f(x)]=f(x+2)−2f(x+1)+f(x)\begin{align*} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&=\partial_x f(x+1)-\partial_x f(x)\\ &=[f(x+2)-f(x+1)]-[f(x+1)-f(x)]\\ &=f(x+2)-2f(x+1)+f(x) \end{align*}

其系数矩阵G′′G''为

G′′=[1−21]G''=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}

为了保证卷积后的结果与3×33\times 3的Sobel核一致，此时的P0P_0需要左右各补充2个0，即

P0补0=[00100]P_{0补0}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}

则3×33\times 3的二阶差分核的计算方式为

D3′′=G′′∗P0补0D''_3=G''*P_{0补0}

同理，5×55\times 5和7×77\times 7的二阶差分核计算方式为

D5′′=G′′∗P2补0D7′′=G′′∗P4补0\begin{aligned} D''_5&=G''*P_{2补0}\\ D''_7&=G''*P_{4补0} \end{aligned}

高阶差分核

对于m×mm\times m的Sobel核，nn阶（n<mn<m）差分核的系数（记为D(n)D^{(n)}）为n阶差分方程系数矩阵的翻转（设为G(n)G_{(n)}）与Pm−n−1P_{m-n-1}的补0卷积（左右各补充nn个0），即

Dm(n)=G(n)∗Pm−n−1补0D^{(n)}_m=G^{(n)}*P_{m-n-1补0}

其中G(n)G^{(n)}满足二项式(a−b)n(a-b)^n，系数为二项式系数的翻转，仅需将杨辉三角每行的偶数列取相反数即可。

一般公式

统一平滑核与差分核

继续考察一般差分公式，我们设置G(0)G_{(0)}对应二项式(a−b)0(a-b)^0的系数，即为1。可以发现，当n=0n=0时，

D(0)=G(0)∗Pm−1=Pm−1D^{(0)}=G^{(0)}*P_{m-1}=P_{m-1}

与平滑核公式一致。此时不需要补0。

单方向Sobel核一般公式（以xx方向为例）

从上述公式得知，xx方向的m×mm\times m的n(n<m)n(n<m)阶Sobel核计算公式为

S(m)=(D(0))T⋅D(n)(m)=Pm−1T⋅(G(n)∗Pm−n−1补0)\begin{align*} S(m)&=(D^{(0)})^T\cdot D^{(n)}(m)\\ &=P_{m-1}^T\cdot(G^{(n)}*P_{m-n-1补0}) \end{align*}

Sobel核一般公式

因此，对于m×mm\times m的Sobel核，xx方向为dxdx阶，yy方向为dydy阶（dx+dy<mdx+dy<m），则计算公式为

S(m)=(D(dy))⋅D(dx)=(G(dy)∗P(m−dy−1)补0)T⋅(G(dx)∗P(m−dx−1)补0)\begin{aligned} S(m)&=(D^{(dy)})\cdot D^{(dx)}\\ &=(G^{(dy)}*P_{(m-dy-1)补0})^T\cdot(G^{(dx)}*P_{(m-dx-1)补0}) \end{aligned}

读者可以使用OpenCV的getDerivKernels函数进行验证。 思考：为什么OpenCV仅提供1、3、5、7核的Sobel算子？

avatar
文章
阅读
粉丝