二分模板

// 法1：闭区间写法
    private int lowerBound(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1; // 闭区间 [left, right]
        while (left <= right) { // 区间不为空
            // 循环不变量：
            // nums[left-1] < target
            // nums[right+1] >= target
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] >= target) {
                right = mid - 1; // 范围缩小到 [left, mid-1]
            } else {
                left = mid + 1; // 范围缩小到 [mid+1, right]
            }
        }
        // 循环结束后 left = right+1
        // 此时 nums[left-1] < target 而 nums[left] = nums[right+1] >= target
        // 所以 left 就是第一个 >= target 的元素下标
        return left;
    }




// 法2：左闭右开区间写法
    // lowerBound 返回最小的满足 nums[i] >= target 的下标 i
    // 如果数组为空，或者所有数都 < target，则返回 nums.length
    // 要求 nums 是非递减的，即 nums[i] <= nums[i + 1]
    private int lowerBound(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length; // 左闭右开区间 [left, right)
        while (left < right) { // 区间不为空
            // 循环不变量：
            // nums[left-1] < target
            // nums[right] >= target
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] >= target) {
                right = mid; // 范围缩小到 [left, mid)
            } else {
                left = mid + 1; // 范围缩小到 [mid+1, right)
            }
        }
        // 循环结束后 left = right
        // 此时 nums[left-1] < target 而 nums[left] = nums[right] >= target
        // 所以 left 就是第一个 >= target 的元素下标
        return left;
    }


// 法3：左开右开区间写法
    // lowerBound 返回最小的满足 nums[i] >= target 的下标 i
    // 如果数组为空，或者所有数都 < target，则返回 nums.length
    // 要求 nums 是非递减的，即 nums[i] <= nums[i + 1]
    private int lowerBound(int[] nums, int target) {
        int left = -1;
        int right = nums.length; // 开区间 (left, right)
        while (left + 1 < right) { // 区间不为空
            // 循环不变量：
            // nums[left] < target
            // nums[right] >= target
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] >= target) {
                right = mid; // 范围缩小到 (left, mid)
            } else {
                left = mid; // 范围缩小到 (mid, right)
            }
        }
        // 循环结束后 left+1 = right
        // 此时 nums[left] < target 而 nums[right] >= target
        // 所以 right 就是第一个 >= target 的元素下标
        return right;

    }

问：为什么要写 left + (right - left) / 2？

答：在面试或者实际场景中，你不一定知道输入的数组有多长，万一数组长度达到 int 最大值，left + right 可能会发生加法溢出。当然，如果只看本题的数据范围，写 (left + right) / 2 也可以。对于 Python 来说，由于没有溢出这个概念，所以可以直接相加。

问：怎么判断我写的是哪一种二分？

答：看 while 循环的条件，如果是 left <= right，就是闭区间；如果是 left < right，就是半闭半开区间；如果是 left + 1 < right，就是开区间。

问：如何理解 end = lowerBound(nums, target + 1) - 1 这段代码？

答：要想找到 ≤target 的最后一个数，无需单独再写一个二分。我们可以先找到这个数的右边相邻数字，也就是 >target 的第一个数。在所有数都是整数的前提下，>target 等价于 ≥target+1，这样就可以复用我们已经写好的二分函数了，即 lowerBound(nums, target + 1)，算出这个数的下标后，将其减一，就得到 ≤target 的最后一个数的下标。

注：题解来自灵茶山艾府大佬的题解。