计算机图形学(二)|矩阵图形变换是计算机图形学开发的重要内容,那么平移、旋转、缩放、剪切等变换是怎么实现的呢?这些图形变

图形变换是计算机图形学开发的重要内容,那么平移、旋转、缩放、剪切等变换是怎么实现的呢?这些图形变换都是通过矩阵实现的。矩阵是图形学中变换的数学语言,能高效、统一地描述和计算物体的位置、姿态、形状变化，是连接几何与渲染的关键工具。

从向量到矩阵

向量是单个几何元素的表示方法,比如用 (x,y,z) 描述三维空间中的点,但是无法高效处理多个向量或复杂变换

为了整合多个向量,将其按行排列或者按列排列,进而形成矩阵这个结构体,可以批量计算多个向量

所以矩阵就是从单个向量的几何描述，到多个向量的结构化组织与运算升级,适配图形学批量变换与统一计算的需求。

矩阵(Matrix) 是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合,其本质是向量的有序集合,简单来说矩阵就是一个矩形的数字、符号或表达式数组,矩阵中每一项叫做矩阵的元素

矩阵可以通过(i, j)进行索引，i是行，j是列，下面是一个2×3矩阵的例子:

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

和向量一样,矩阵也有自己的运算,矩阵运算分为矩阵的加法运算、减法运算、数乘运算、相乘运算、还有矩阵与向量相乘的运算

矩阵相加就是两个矩阵对应元素相加,如下所示:

矩阵相加就是两个矩阵对应元素相减,如下所示:

矩阵的数乘就是一个矩阵与一个数相乘,即矩阵的每一个元素分别与这个数相乘,下面的例子展示了数乘的过程: 它在图形学的几何意义是用一个数来缩放矩阵的所有元素

相对于签名三种运算方法来说,矩阵相乘是相对比较复杂

矩阵相乘的计算规则是:

结果矩阵中第i行、j列的元素 = 前矩阵A第i行的行向量与后矩阵B第j列的列向量的点积

c_{ij} = \boldsymbol{A}_{i,:} \cdot \boldsymbol{B}_{:,j} = \sum_{k=1}^{N} a_{ik} \cdot b_{kj}

点积:对应元素相乘后求和

下面我们来看一个简单的例子:

上面是一个两个2×2矩阵相乘的例子,当行和列不相同时的矩阵相乘如下:

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1×7+2×9+3×11 & 1×8+2×10+3×12 \\ 4×7+5×9+6×11 & 4×8+5×10+6×12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}

以上就是矩阵相乘的基本方法,但是,两个矩阵想要相乘是要符合一个条件:

只有当左侧矩阵的列数与右侧矩阵的行数相等，两个矩阵才能相乘

同时,矩阵相乘不遵守交换律,即A⋅B≠B⋅A

我们知道,矩阵是由向量演变过来的,向量其实就是一个特殊的矩阵,是一个多行一列的矩阵,所以矩阵与向量相乘完全遵循矩阵乘法原则

前提条件是矩阵的列数 = 向量的行数

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 10 \\ 20 \\ 30 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1×10+2×20+3×30 \\ 4×10+5×20+6×30 \\ 7×10+8×20+9×30 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 140 \\ 320 \\ 500 \end{bmatrix}

向量中有单位向量,矩阵中同样有单位矩阵

单位矩阵是一个除了对角线以外都是0的N×N矩阵,比如,三阶单位矩阵如下图所示:

在图形学中单位矩阵是无变换的代表,用单位矩阵乘顶点/方向向量,向量不会发生任何旋转、缩放、平移等变化

本文主要简单介绍了矩阵三方面的内容:

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