二叉搜索树（BST）详解
一、二叉搜索树的定义
根据笔记中的描述，二叉搜索树（又称排序二叉树）是一种具有严格排序特性的二叉树，其定义满足以下两种情况：
-
空树：即没有任何节点的树。
-
非空树：由根节点、左子树、右子树组成，且同时满足：
- 左子树和右子树都是二叉搜索树；
- 左子树中所有节点的值 小于 根节点的值；
- 右子树中所有节点的值 大于 根节点的值。
这种特性使得二叉搜索树的节点天然有序（左子树 < 根节点 < 右子树），为高效的查找、插入、删除操作奠定了基础。
二、二叉搜索树的核心操作（结合代码实现）
二叉搜索树的核心操作包括查找、插入、删除，以下结合提供的代码详细说明：
1. 查找操作
功能：查找数据域为特定值的节点。原理：利用 BST 的排序特性，通过与根节点比较，逐步缩小查找范围：
- 若目标值等于当前节点值，找到目标；
- 若目标值小于当前节点值，递归查找左子树；
- 若目标值大于当前节点值，递归查找右子树。
代码实现 ：
function search(root, n) {
if (!root) { // 树为空或未找到目标，直接返回
return;
}
if (root.val === n) { // 找到目标节点
console.log('目标节点', root);
} else if (root.val > n) { // 目标在左子树
search(root.left, n);
} else { // 目标在右子树
search(root.right, n);
}
}
示例：在如下 BST 中查找值为 7 的节点：
6
/ \
3 8
/ \ / \
1 4 7 9
- 从根节点 6 开始，7 > 6 → 查找右子树（根为 8）；
- 7 < 8 → 查找 8 的左子树，找到节点 7。
插入操作
功能：插入新节点并保持 BST 的排序特性。原理：类似查找逻辑，找到合适的位置（叶子节点的左 / 右子树）插入新节点：
- 若当前树为空，直接以新值创建根节点；
- 若新值小于当前节点值，递归向左子树插入；
- 若新值大于当前节点值，递归向右子树插入。
代码实现 ：
function insertIntoBst(root, n) {
if (!root) { // 树为空，直接创建新节点作为根
root = new TreeNode(n);
return root;
}
if (root.val > n) { // 新值小，插入左子树
root.left = insertIntoBst(root.left, n);
} else { // 新值大，插入右子树
root.right = insertIntoBst(root.right, n);
}
return root; // 返回更新后的树
}
示例：向上述 BST 中插入值为 5 的节点：
- 5 < 6 → 左子树（根为 3）；
- 5 > 3 → 右子树（根为 4）；
- 5 > 4 → 插入 4 的右子树，最终 4 的右节点为 5。
3. 删除操作
功能：删除指定节点并保持 BST 的排序特性。原理：删除节点后需重新调整树结构，分三种情况：
- 叶子节点（无左右子树） ：直接删除（置为 null）；
- 有左子树：用左子树中最大值节点（左子树最右侧节点）替换当前节点，再删除该最大值节点；
- 有右子树（无左子树） ：用右子树中最小值节点（右子树最左侧节点）替换当前节点，再删除该最小值节点。
代码实现 ：
function deleteNode(root, n) {
if (!root) return root; // 树为空，直接返回
if (root.val === n) { // 找到目标节点
// 情况1：叶子节点
if (!root.left && !root.right) {
root = null;
}
// 情况2：有左子树（用左子树最大值替换）
else if (root.left) {
const maxLeft = findMax(root.left); // 找左子树最大值
root.val = maxLeft.val; // 替换值
root.left = deleteNode(root.left, maxLeft.val); // 删除最大值节点
}
// 情况3：有右子树（用右子树最小值替换）
else {
const minRight = findMin(root.right); // 找右子树最小值
root.val = minRight.val; // 替换值
root.right = deleteNode(root.right, minRight.val); // 删除最小值节点
}
}
// 目标在左子树
else if (root.val > n) {
root.left = deleteNode(root.left, n);
}
// 目标在右子树
else {
root.right = deleteNode(root.right, n);
}
return root;
}
// 辅助函数：找左子树最大值（最右侧节点）
function findMax(root) {
while (root.right) root = root.right;
return root;
}
// 辅助函数：找右子树最小值（最左侧节点）
function findMin(root) {
while (root.left) root = root.left;
return root;
}
示例：删除上述 BST 中值为 8 的节点：
- 8 有左右子树（7 和 9），且有右子树，因此用右子树最小值（9）替换 8；
- 替换后删除原 9 节点，最终 8 的位置变为 9，右子树为空。
三、时间复杂度
- 平均情况：查找、插入、删除的时间复杂度均为 O(log n) （类似二分查找，每次操作可排除一半节点）。
- 最坏情况：当树退化为斜树（所有节点只有左子树或右子树）时，时间复杂度为 O(n) （类似链表遍历）。
四、使用场景
二叉搜索树适合需要频繁进行查找、插入、删除操作，且对效率有一定要求的场景，例如：
- 数据库索引：利用 BST 的高效查找特性，快速定位数据（实际数据库中常用 B 树 / B + 树，是 BST 的变种，更适合磁盘存储）。
- 有序数据维护：如排行榜、字典等，可利用 BST 的有序性快速获取最大 / 最小值（如
findMax/findMin函数）。 - 平衡树基础：是 AVL 树、红黑树等平衡二叉树的基础（平衡树通过旋转解决 BST 的斜树问题，保证 O (log n) 的稳定效率）。
