一、引言：中国古代数学智慧的现代编程实现
"百钱买百鸡"问题是中国古代著名的数学问题，最早出现在公元5世纪的《张丘建算经》中。这个问题不仅是数学史上的经典，也是编程学习中练习循环和穷举算法的绝佳案例。通过编程解决这个问题，我们可以将千年前的数学智慧与现代计算机技术相结合，体验算法思维的魅力。
二、问题分析与算法设计
案例：百钱买百鸡问题的编程求解
问题描述： 用100文钱买100只鸡，其中：
- 公鸡每只3文钱
- 母鸡每只2文钱
- 小鸡每3只1文钱
求公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
代码展示：
""""
4.编程："百钱买百鸡"是我国古代的著名数学题。
题目描述：
3 文钱可以买 1 只公鸡，
2 文钱可以买一只母鸡，
1 文钱可以买 3 只小鸡。
用 100 文钱买100 只鸡，
那么各有公鸡、母鸡、小鸡多少只？
"""
#假设100文钱全买公鸡是33只，100文钱全买母鸡是20只，100文钱全买小鸡是300
for i in range(1,34):
for j in range(1,51):
for z in range(1,301):
if(3*i+2*j+1/3*z==100 and i+j+z == 100 ):
print("公鸡数：",i,"\t母鸡数：",j,"\t小鸡数：",z)
运行结果：
代码分析：
这段代码使用三重嵌套循环的穷举法来解决问题，让我们详细分析：
-
循环范围设置：
for i in range(1,34)：公鸡数量范围，100文钱最多买33只公鸡（100÷3≈33）for j in range(1,51)：母鸡数量范围，100文钱最多买50只母鸡（100÷2=50）for z in range(1,301)：小鸡数量范围，100文钱最多买300只小鸡（100×3=300）
-
核心判断条件：
- 金钱条件：
3*i + 2*j + 1/3*z == 100- 公鸡花费：3文/只 × i只
- 母鸡花费：2文/只 × j只
- 小鸡花费：1/3文/只 × z只
- 总花费等于100文
- 数量条件：
i + j + z == 100- 公鸡+母鸡+小鸡总数等于100只
- 金钱条件：
-
输出格式：
- 使用制表符
\t对齐输出，使结果更清晰易读 - 输出所有满足条件的组合
- 使用制表符
三、数学原理与算法优化
1. 数学方程分析
设公鸡数为x，母鸡数为y，小鸡数为z，则有：
方程1：x + y + z = 100 (总数约束)
方程2：3x + 2y + z/3 = 100 (金钱约束)
将方程1中的z代入方程2：
3x + 2y + (100-x-y)/3 = 100
乘以3：9x + 6y + 100 - x - y = 300
化简：8x + 5y = 200
得到二元一次方程：8x + 5y = 200
2. 优化后的代码
根据数学推导，我们可以大幅优化算法：
# 优化版本：减少循环层次
for x in range(0, 34): # 公鸡数量
for y in range(0, 51): # 母鸡数量
z = 100 - x - y # 小鸡数量
if z >= 0 and z % 3 == 0: # 小鸡数量必须是非负整数且能被3整除
if 3*x + 2*y + z//3 == 100:
print(f"公鸡数：{x}\t母鸡数：{y}\t小鸡数：{z}")
优化说明：
- 减少一层循环：通过总数约束直接计算z，避免第三重循环
- 添加约束条件：z必须是非负整数且能被3整除（因为小鸡3只1文钱）
- 使用整除运算符
//：避免浮点数计算
3. 进一步数学优化
从方程8x + 5y = 200可知：
- y = (200 - 8x)/5
- 因为y必须是整数，所以(200-8x)必须能被5整除
- 即200-8x ≡ 0 (mod 5)
# 进一步优化：单层循环
for x in range(0, 34):
if (200 - 8*x) % 5 == 0: # 判断y是否为整数
y = (200 - 8*x) // 5
z = 100 - x - y
if z >= 0 and z % 3 == 0:
print(f"公鸡数：{x}\t母鸡数：{y}\t小鸡数：{z}")
